Determine o volume do sólido limitado por y-x+z=1 e pelos planos coordenados. Esboce a região de integração.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Determinar o volume do sólido limitado pela reta superfície dada por y-x+z=1 e pelos planos coordenados.
  2. Esboçar (descrever) a região de integração correspondente.
Informações fornecidas:
  • A equação do plano é y-x+z=1.
  • Os planos coordenados são x=0, y=0 e z=0.
Nada mais é dado explicitamente; a tarefa é deduzir a região fechada por essas quatro superfícies e calcular o volume desse sólido.

Passo 2

Vamos primeiro encontrar os pontos onde o plano corta os eixos coordenados (fazendo duas coordenadas zero em cada caso):
  • Interseção com o eixo x: tomar y=0 e z=0 em y-x+z=1
0 - x + 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad x = -1.
Logo o ponto é (-1,0,0).
  • Interseção com o eixo y: tomar x=0 e z=0
y - 0 + 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad y = 1.
Logo o ponto é (0,1,0).
  • Interseção com o eixo z: tomar x=0 e y=0
0 - 0 + z = 1 \quad\Rightarrow\quad z = 1.
Logo o ponto é (0,0,1).
Também note que as três superfícies x=0, y=0, z=0 se intersectam no ponto (0,0,0) (a origem).
Portanto as quatro superfícies se intersectam formando um tetraedro cujos vértices são
(0,0,0),\; (-1,0,0),\; (0,1,0),\; (0,0,1).
Esse é o sólido limitado pedido — é uma tetraedro (simplesx) cujo vértice em x fica em -1, ou seja, o sólido ocupa a região com x entre -1 e 0 (não está confinado ao primeiro octante).
Esboço da região (descrição para desenhar): desenhar os três eixos (x,y,z). Marcar os pontos (-1,0,0) à esquerda no eixo x, (0,1,0) no eixo y e (0,0,1) no eixo z. Ligar esses três pontos para formar um triângulo que é a interseção do plano com os planos coordenados; o tetraedro é o convexo formado por esse triângulo e a origem (0,0,0). A face no plano x=0 é o segmento entre (0,1,0) e (0,0,1).

Passo 3

Método geométrico rápido (determinante): se um tetraedro tem um vértice na origem e os outros três vértices são os vetores \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c} a partir da origem, então o volume desse tetraedro é
V=\frac{1}{6}\big|\det[\mathbf{a}\;\mathbf{b}\;\mathbf{c}]\big|.
Breve explicação dessa fórmula: o determinante em módulo dá o volume do paralelepípedo gerado por \mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}; o tetraedro formado por esses vetores (convexo de 0,\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}) ocupa \tfrac{1}{6} do paralelepípedo (fato geométrico clássico, pode-se dividir o paralelepípedo em 6 tetraedros congruentes).
Aqui os vetores que vão da origem aos outros vértices são
\mathbf{a}=(-1,0,0),\qquad \mathbf{b}=(0,1,0),\qquad \mathbf{c}=(0,0,1).
Formamos a matriz cujas colunas são esses vetores e calculamos o determinante:
\det\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\[2pt] 0 & 1 & 0\\[2pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = (-1)\cdot 1\cdot 1 = -1.
Tomando o módulo e aplicando a fórmula,
V=\frac{1}{6}\big|{-1}\big|=\frac{1}{6}.]

Passo 4

Método por integração (montagem da integral e cálculo passo a passo), para praticar limites de integração:
A equação do plano pode ser escrita resolvendo z:
z = 1 - y + x.
Dentro do tetraedro temos z\ge 0, y\ge 0, x entre os extremos determinados antes. Observando as interseções, x varia de -1 até 0. Para um x fixo, y varia de 0 até o valor que z=0 impõe em 1 - y + x \ge 0, isto é y \le 1 + x. Assim
-1 \le x \le 0,\qquad 0 \le y \le 1+x,\qquad 0 \le z \le 1 - y + x.
O volume é
V=\int_{x=-1}^{0}\!\int_{y=0}^{1+x}\!\int_{z=0}^{1-y+x} dz\,dy\,dx.
Calculemos integral interna:
\int_{z=0}^{1-y+x} dz = 1 - y + x.
Agora a integral em y:
\int_{y=0}^{1+x} (1 - y + x)\,dy = \int_{0}^{1+x} \big((1+x) - y\big)\,dy.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{1+x} (1+x)\,dy - \int_{0}^{1+x} y\,dy = (1+x)(1+x) - \frac{(1+x)^2}{2} = \frac{(1+x)^2}{2}.
Finalmente integrar em x:
V=\int_{x=-1}^{0} \frac{(1+x)^2}{2}\,dx.
Fazer a substituição u=1+x simplifica: quando x=-1 tem u=0, quando x=0 tem u=1, e du=dx. Assim
V=\frac{1}{2}\int_{u=0}^{1} u^2\,du = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
Observação: é bom praticar ambos os métodos; o resultado confere com o do Passo 3.

Passo 5

Resumo final e motivação curta: a região limitada é um tetraedro com vértices (0,0,0),(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,1). Podemos calcular o volume geometricamente por determinante (fácil e rápido) ou por integração tripla (bom exercício de limites). Em ambos os casos o volume é \tfrac{1}{6}. Força aí — esse tipo de exercício é ótimo para entender como usar interseções, montar limites e também ver conexões geométricas!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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