Determine o volume do sólido limitado por
e
. Determine e esboce a região de integração no plano.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies
,
e
. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dados:
- Uma superfície (plano)
. - Duas superfícies verticais que, ao projetar no plano
, são as curvas (parábola com eixo paralelo a ) e (reta ).
- Uma superfície (plano)
- Pedido:
- Determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies.
- Determinar e esboçar a região de integração no plano
(ou seja, a projeção do sólido no plano ).
Observação importante (interpretação): aqui vamos tomar a interpretação usual em exercícios desse tipo: o sólido é a região situada sob a superfície
e acima da região
do plano
limitada pelas curvas
e
. Assim o volume será dado por uma integral dupla
Passo 2
Determinar a região
no plano
: é a região limitada pelas curvas
e
. Para obter os limites em
, encontro os pontos de interseção entre as duas curvas resolvendo
Resolvendo a equação:
Usando a fórmula quadrática ou fatorando:
Logo as interseções ocorrem em
Passo 3
Descrição geométrica da região
:
- Para cada
entre e , a coordenada varia desde a parábola (lado esquerdo) até a reta (lado direito). Portanto os limites são
- Pontos notáveis: em
ambas as curvas têm (ponto ); em ambas têm (ponto ). - Esboço mental / como desenhar: desenhar a parábola abrindo para a direita (
) e a reta com inclinação interceptando o eixo em . A região é a “fita” curvada entre essas duas curvas, conectando a , com a parábola à esquerda e a reta à direita.
Passo 4
Explicação do método para calcular o volume:
- Para um sólido que está sobre a região
no plano e abaixo da superfície , o volume é
Aqui
. A ideia intuitiva: dividir
em pequenos retângulos de área
; sobre cada retângulo o sólido tem altura aproximadamente
; somando (integrando) esses prismas elementares obtém-se o volume total.
- Vou escolher a ordem de integração
porque as curvas têm forma função de , o que dá limites simples para em função de .
Assim a integral para o volume fica
Passo 5
Calcular a integral interna em
. Primeiro integrar
em relação a
:
Agora avaliar entre
e
:
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:
- Calcular
:
- Calcular
. - Subtrair:
Portanto a integral interna reduzida dá a função de
Passo 6
Agora integro em
no intervalo
:
Integro termo a termo (a regra: integral de
é
, e integral de constante é constante vezes
):
-
. -
. -
.
Logo a primitiva é
Agora avalio
.
Passo 7
Avaliação numérica da primitiva nos extremos.
Calcular
:
Calcular
:
Colocando em décimos para somar:
Agora subtrair:
Em forma decimal isso é
, mas a forma fracionária
é preferível.