Determine o volume do sólido limitado por z=2 x+1, \quad x=y^{2} e x-y=2. Determine e esboce a região de integração no plano.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pelas superfícies z=2x+1, x=y^{2} e x-y=2. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
  • Dados:
    • Uma superfície (plano) z=2x+1.
    • Duas superfícies verticais que, ao projetar no plano xy, são as curvas x=y^{2} (parábola com eixo paralelo a x) e x-y=2 (reta x=y+2).
  • Pedido:
    • Determinar o volume do sólido limitado por essas superfícies.
    • Determinar e esboçar a região de integração no plano xy (ou seja, a projeção do sólido no plano xy).
Observação importante (interpretação): aqui vamos tomar a interpretação usual em exercícios desse tipo: o sólido é a região situada sob a superfície z=2x+1 e acima da região D do plano xy limitada pelas curvas x=y^{2} e x=y+2. Assim o volume será dado por uma integral dupla
V=\iint_{D} (2x+1)\,dA.

Passo 2

Determinar a região D no plano xy: é a região limitada pelas curvas x=y^{2} e x=y+2. Para obter os limites em y, encontro os pontos de interseção entre as duas curvas resolvendo
y^{2}=y+2.
Resolvendo a equação:
y^{2}-y-2=0.
Usando a fórmula quadrática ou fatorando:
(y-2)(y+1)=0.
Logo as interseções ocorrem em
y=2\quad\text{e}\quad y=-1.

Passo 3

Descrição geométrica da região D:
  • Para cada y entre -1 e 2, a coordenada x varia desde a parábola x=y^{2} (lado esquerdo) até a reta x=y+2 (lado direito). Portanto os limites são
-1\le y\le 2,\qquad y^{2}\le x\le y+2.
  • Pontos notáveis: em y=-1 ambas as curvas têm x=1 (ponto (1,-1)); em y=2 ambas têm x=4 (ponto (4,2)).
  • Esboço mental / como desenhar: desenhar a parábola abrindo para a direita ( x=y^{2}) e a reta com inclinação 1 interceptando o eixo x em 2. A região D é a “fita” curvada entre essas duas curvas, conectando (1,-1) a (4,2), com a parábola à esquerda e a reta à direita.

Passo 4

Explicação do método para calcular o volume:
  • Para um sólido que está sobre a região D no plano xy e abaixo da superfície z=f(x,y), o volume é
V=\iint_{D} f(x,y)\,dA.
Aqui f(x,y)=2x+1. A ideia intuitiva: dividir D em pequenos retângulos de área dA; sobre cada retângulo o sólido tem altura aproximadamente f(x,y); somando (integrando) esses prismas elementares obtém-se o volume total.
  • Vou escolher a ordem de integração dx\,dy porque as curvas têm forma x= função de y, o que dá limites simples para x em função de y.
Assim a integral para o volume fica
V=\int_{y=-1}^{2}\int_{x=y^{2}}^{y+2} (2x+1)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcular a integral interna em x. Primeiro integrar 2x+1 em relação a x:
\int (2x+1)\,dx = x^{2}+x + C.
Agora avaliar entre x=y^{2} e x=y+2:
\left[x^{2}+x\right]_{x=y^{2}}^{x=y+2} = \big((y+2)^{2}+(y+2)\big)-\big((y^{2})^{2}+y^{2}\big).
Desenvolvendo e simplificando passo a passo:
  • Calcular (y+2)^{2}+(y+2):
(y+2)^{2}+(y+2)=y^{2}+4y+4+y+2=y^{2}+5y+6.
  • Calcular (y^{2})^{2}+y^{2}=y^{4}+y^{2}.
  • Subtrair:
(y^{2}+5y+6)-(y^{4}+y^{2}) = -y^{4}+5y+6.
Portanto a integral interna reduzida dá a função de y
\int_{x=y^{2}}^{y+2}(2x+1)\,dx = -y^{4}+5y+6.

Passo 6

Agora integro em y no intervalo [-1,2]:
V=\int_{-1}^{2} \big(-y^{4}+5y+6\big)\,dy.
Integro termo a termo (a regra: integral de y^{n} é y^{n+1}/(n+1), e integral de constante é constante vezes y):
  • \displaystyle \int -y^{4}\,dy = -\frac{y^{5}}{5}.
  • \displaystyle \int 5y\,dy = \frac{5y^{2}}{2}.
  • \displaystyle \int 6\,dy = 6y.
Logo a primitiva é
F(y)=-\frac{y^{5}}{5}+\frac{5y^{2}}{2}+6y.
Agora avalio F(2)-F(-1).

Passo 7

Avaliação numérica da primitiva nos extremos.
Calcular F(2):
F(2)=-\frac{2^{5}}{5}+\frac{5\cdot 2^{2}}{2}+6\cdot 2 = -\frac{32}{5}+\frac{5\cdot 4}{2}+12 = -\frac{32}{5}+10+12 = -\frac{32}{5}+22 = \frac{-32+110}{5}=\frac{78}{5}.
Calcular F(-1):
F(-1)=-\frac{(-1)^{5}}{5}+\frac{5\cdot(-1)^{2}}{2}+6\cdot(-1) = -\frac{-1}{5}+\frac{5\cdot 1}{2}-6 = \frac{1}{5}+\frac{5}{2}-6.
Colocando em décimos para somar:
\frac{1}{5}+\frac{5}{2}-6 = \frac{2}{10}+\frac{25}{10}-\frac{60}{10} = -\frac{33}{10}.
Agora subtrair:
V = F(2)-F(-1)=\frac{78}{5}-\left(-\frac{33}{10}\right)=\frac{156}{10}+\frac{33}{10}=\frac{189}{10}.
Em forma decimal isso é 18{,}9, mas a forma fracionária \dfrac{189}{10} é preferível.

Resposta

\dfrac{189}{10}

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