Considere a quádrica S: 2 x^2+y^2+z^2-4 x-6 y+9=0 e o plano pi: x=1.
Determine a interseção de S com pi.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar onde a superfície quadrática S: 2x^2 + y^2 + z^2 - 4x - 6y + 9 = 0 intercepta o plano pi: x = 1. Aqui, vamos trabalhar com geometria analítica, especificamente com interseção de superfícies. Para resolver isso, vamos substituir a equação do plano na equação da superfície para achar a curva de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir x = 1 na equação de S. Assim, a equação fica:
2(1)^2 + y^2 + z^2 - 4(1) - 6y + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa expressão:
2 + y^2 + z^2 - 4 - 6y + 9 = 0
Somando os termos constantes:
(y^2 - 6y) + z^2 + (2 - 4 + 9) = 0
y^2 - 6y + z^2 + 7 = 0

Passo 4

Para facilitar, vamos completar o quadrado na parte do y:
y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9
Substituindo de volta na equação:
(y - 3)^2 - 9 + z^2 + 7 = 0
Simplificando novamente:
(y - 3)^2 + z^2 - 2 = 0
(y - 3)^2 + z^2 = 2

Passo 5

Essa é a equação de um círculo no plano x = 1 com centro em (1, 3, 0) e raio raiz2. Então, a interseção de S com pi é um c��rculo.

Resposta

A interseção de S com pi é o círculo (y - 3)^2 + z^2 = 2 no plano x = 1.

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