Dada a equação 
 . Identifique o tipo da cônica que a equação representa, em seguida determine sua equação reduzida, centro, focos, vértices e excentricidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação 
  e pede para identificar que tipo de cônica é essa. Além disso, precisamos encontrar a equação reduzida, o centro, os focos, os vértices e a excentricidade. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de geometria analítica, especialmente sobre cônicas como parábolas, elipses e hipérboles.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação da cônica. Vamos colocar os termos em ordem:
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos de 
  e os termos de 
 :
Passo 4
Vamos completar o quadrado para os termos de 
 . Primeiro, fatoramos o 4 do 
 :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, tomamos a metade do coeficiente de 
 , que é 8, dividimos por 2, dando 4, e então elevamos ao quadrado, resultando em 16. Adicionamos e subtraímos 16 dentro dos parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos deixar a equa�o mais simples isolando os termos completos:
Passo 6
Para identificar o tipo de cônica, vamos dividir todos os termos por 16:
Simplificando as frações:
Passo 7
A forma geral agora está parecendo com a equação padrão de uma hipérbole, que é:
Comparando, vemos que 
 , 
 , 
 , e 
 . Portanto, a cônica é uma hipérbole.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a equação reduzida, que já está praticamente na forma reduzida:
Passo 9
O centro da hipérbole está em 
 , que é 
 .
Passo 10
Para encontrar os vértices, usamos 
 . Como a hipérbole abre horizontalmente, os vértices estão a 
  unidades à direita e à esquerda do centro:
Vértices: 
  e 
Passo 11
Os focos são encontrados usando 
 . Os focos estão a 
  unidades à direita e à esquerda do centro:
Focos: 
  e 
Passo 12
A excentricidade 
  é dada por 
Resposta
A cônica representada pela equação 
  é uma hipérbole. Sua equação reduzida é 
 , o centro está em 
 , os vértices são 
  e 
 , os focos estão em 
  e 
 , e a excentricidade é 
 .