Obtenha uma equação geral da cônica dada abaixo por equações paramétricas
 
em seguida represente graficamente a cônica.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um sistema de equações paramétricas que define uma cônica. Nosso objetivo aqui é transformar essas equações paramétricas em uma equação geral da cônica, ou seja, uma equação que relacione 
  e 
  diretamente. Para isso, vamos precisar usar um pouco de álgebra para eliminar o parâmetro 
 .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as equações que temos:
Queremos eliminar o 
  dessas equações para achar uma relação direta entre 
  e 
 .
Passo 3
Para eliminar o 
 , vamos isolar as funções trigonométricas nas duas equações. Vamos começar rearranjando cada equação:
Para 
 :
Para 
 :
Passo 4
Sabemos que, para qualquer ângulo 
 , a identidade trigonométrica vale:
Vamos substituir as expressões que encontramos para 
  e 
  nessa identidade:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essa equação para deixá-la na forma padrão de uma elipse:
Essa é a equação geral da cônica, que no caso é uma elipse.
Resposta
A equação geral da cônica é:
Para representar graficamente essa elipse, identificamos o centro no ponto 
 , o eixo maior tem comprimento 
  ao longo do eixo 
 , e o eixo menor tem comprimento 
  ao longo do eixo 
 . Assim, desenhando a elipse com esses parâmetros, teremos a representação gráfica desejada.