Considere a quádrica S: 2 x^2+y^2+z^2-4 x-6 y+9=0 e o plano pi: x=1.
Encontre a equação reduzida da quádrica S e identifique-a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma quádrupla (ou superfície quádrupla) definida pela equação e um plano . Nosso objetivo é simplificar essa equação para uma forma mais fácil de entender e, depois, identificar que tipo de superfície quádrupla é essa. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado, uma técnica matemática para reorganizar expressões quadráticas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação da quádrupla de maneira que fiquem agrupados os termos que têm a mesma variável. Assim, temos:
2x^2 - 4x + y^2 - 6y + z^2 + 9 = 0

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 2(x^2 - 2x) + y^2 - 6y + z^2 + 9 = 0 . Para isso, observamos que o coeficiente de 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + y^2 - 6y + z^2 + 9 = 0 é 2. Queremos ter um quadrado perfeito, então vamos fatorar esse 2:
2((x - 1)^2 - 1) + y^2 - 6y + z^2 + 9 = 0
Dentro dos parênteses, temos . Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de , que é -2, dividimos por 2, ficando -1, e depois elevamos ao quadrado, resultando em 1. Assim, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de 2(x - 1)^2 - 2 + y^2 - 6y + z^2 + 9 = 0 . A equação agora está:
2(x - 1)^2 - 2 + (y^2 - 6y + 9 - 9) + z^2 + 9 = 0
Focando em 2(x - 1)^2 - 2 + (y - 3)^2 - 9 + z^2 + 9 = 0 , completamos o quadrado. Pegamos o coeficiente de , que é -6, dividimos por 2, ficando -3, e elevamos ao quadrado, resultando em 9. Assim, adicionamos e subtraímos 9:
Simplificando:

Passo 5

Vamos agora juntar todos os termos constantes:
2(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 - 2 - 9 + 9 = 0
Simplificando os números:
2(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 - 2 = 0

Passo 6

Isolando os termos quadráticos:
2(x - 1)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 2
Para deixar a equação mais limpa, podemos dividir todos os termos por 2:
(x - 1)^2 + (y - 3)^22 + z^22 = 1

Passo 7

Pronto! Agora a equação está na forma reduzida. Vamos reescrever de forma mais clara:
(x - 1)^21 + (y - 3)^22 + z^22 = 1

Passo 8

Por fim, vamos identificar que tipo de quádrupla é essa. A equação está na forma padrão de um elipsoide, que é uma superfície quádrupla onde todas as seções planas são elipses ou círculos. Os denominadores diferentes indicam que os eixos têm diferentes comprimentos.

Resposta

A equação reduzida da quádrupla (x - 1)^21 + (y - 3)^22 + z^22 = 1 é:
E essa quádrupla é um elipsoide.

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