Considere a quádrica
e o plano
.
Encontre a equação reduzida da quádrica
e identifique-a.
Encontre a equação reduzida da quádrica
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma quádrupla (ou superfície quádrupla) definida pela equação
e um plano
. Nosso objetivo é simplificar essa equação para uma forma mais fácil de entender e, depois, identificar que tipo de superfície quádrupla é essa. Para isso, vamos precisar usar o método de completar o quadrado, uma técnica matemática para reorganizar expressões quadráticas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação da quádrupla de maneira que fiquem agrupados os termos que têm a mesma variável. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Para isso, observamos que o coeficiente de
é 2. Queremos ter um quadrado perfeito, então vamos fatorar esse 2:
Dentro dos parênteses, temos
. Para completar o quadrado, pegamos o coeficiente de
, que é -2, dividimos por 2, ficando -1, e depois elevamos ao quadrado, resultando em 1. Assim, adicionamos e subtraímos 1 dentro dos parênteses:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos fazer o mesmo para os termos de
. A equação agora está:
Focando em
, completamos o quadrado. Pegamos o coeficiente de
, que é -6, dividimos por 2, ficando -3, e elevamos ao quadrado, resultando em 9. Assim, adicionamos e subtraímos 9:
Simplificando:
Passo 5
Vamos agora juntar todos os termos constantes:
Simplificando os números:
Passo 6
Isolando os termos quadráticos:
Para deixar a equação mais limpa, podemos dividir todos os termos por 2:
Passo 7
Pronto! Agora a equação está na forma reduzida. Vamos reescrever de forma mais clara:
Passo 8
Por fim, vamos identificar que tipo de quádrupla é essa. A equação está na forma padrão de um elipsoide, que é uma superfície quádrupla onde todas as seções planas são elipses ou círculos. Os denominadores diferentes indicam que os eixos têm diferentes comprimentos.
Resposta
A equação reduzida da quádrupla
é:
E essa quádrupla é um elipsoide.