Determinar a equação do hiperbolóide de duas folhas de centro na origem e eixos sobre os eixos coordenados, que passa pelos pontos
e
.
Passo 1
A questão pede a equação de um hiperbolóide de duas folhas, centrado na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados, que passe pelos pontos dados. O conteúdo é geometria das superfícies quádricas e vamos precisar usar a forma canônica do hiperbolóide de duas folhas e determinar seus parâmetros a, b e c.
Passo 2
Em hiperbolóide de duas folhas alinhado ao eixo z, a forma canônica é
onde
Passo 3
Substituindo cada ponto
na forma canônica criamos um sistema linear. Definindo
,
e
, obtemos:
- para
: , - para
: , - para
: .
Passo 4
Resolvendo o sistema por substituição: da primeira equação isolamos
e substituímos nas outras duas. A terceira equação dá diretamente
. Com isso a segunda reduz a
, de onde
. Por fim, usando
e
em
achamos
.
Passo 5
Voltando às definições de
: temos
⇒
,
⇒
, e
⇒
.
Passo 6
Substituindo
,
e
na forma canônica, obtemos:
que simplifica para a equação final.