Determinar a equação do hiperbolóide de duas folhas de centro na origem e eixos sobre os eixos coordenados, que passa pelos pontos (3,1,2),(2, raiz11, 3) e (6,2, raiz15).

Passo 1

A questão pede a equação de um hiperbolóide de duas folhas, centrado na origem e com eixos alinhados aos eixos coordenados, que passe pelos pontos dados. O conteúdo é geometria das superfícies quádricas e vamos precisar usar a forma canônica do hiperbolóide de duas folhas e determinar seus parâmetros a, b e c.

Passo 2

Em hiperbolóide de duas folhas alinhado ao eixo z, a forma canônica é
z^2c^2-x^2a^2-y^2b^2=1
onde a^2, b^2, c^2 são positivos. A folha dupla abre ao longo de z, pois o termo positivo é z^2/c^2.

Passo 3

Substituindo cada ponto (x,y,z) na forma canônica criamos um sistema linear. Definindo U=1/a^2, V=1/b^2 e W=1/c^2, obtemos:
  1. para (3,1,2): 4W-9U-1V=1,
  2. para (2,raiz11,3): 9W-4U-11V=1,
  3. para (6,2,raiz15): 15W-36U-4V=1.

Passo 4

Resolvendo o sistema por substituição: da primeira equação isolamos V=-9U+4W-1 e substituímos nas outras duas. A terceira equação dá diretamente W=3. Com isso a segunda reduz a 19U-7W=-2, de onde U=1. Por fim, usando U=1 e W=3 em V=-9U+4W-1 achamos V=2.

Passo 5

Voltando às definições de U, V, W: temos 1/a^2=1 a^2=1, 1/b^2=2 b^2=1/2, e 1/c^2=3 c^2=1/3.

Passo 6

Substituindo a^2, b^2 e c^2 na forma canônica, obtemos:
z^21/3-x^21-y^21/2=1
que simplifica para a equação final.

Resposta

x^2+2y^2-3z^2=-1

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