Considere que a quantidade ofertada do bem \mathrm{x}\left(\mathrm{q}_{\mathrm{x}}\right) dependa do preço do próprio bem ( \mathrm{p}_{\mathrm{x}} ) mas é função, também, do preço do bem y ( \mathrm{p}_{\mathrm{y}} ) e da renda do indivíduo ( R ), de acordo com a seguinte equação:
\mathrm{q}_{\mathrm{x}}=30-1,5 \mathrm{p}_{\mathrm{x}}+0,8 \mathrm{p}_{\mathrm{y}}+10 \mathrm{R}
O bem x é normal ou inferior? Pq?

Passo 1

O enunciado dá a função da quantidade ofertada do bem x em função do preço do próprio bem, do preço do bem y e da renda R. A função fornecida é:
\mathrm{q}_{\mathrm{x}}=30-1,5\mathrm{p}_{\mathrm{x}}+0,8\mathrm{p}_{\mathrm{y}}+10\mathrm{R}
A pergunta do enunciado é: o bem x é normal ou inferior? Peça clara: classificar o bem x em normal ou inferior e justificar.

Passo 2

O que significa “normal” e “inferior” (explicação didática):
  • Dizemos que um bem é normal quando, ao aumentar a renda do indivíduo, a quantidade (tradicionalmente a quantidade demandada) aumenta. Ou seja, a variação da quantidade em resposta à renda é positiva.
  • Dizemos que um bem é inferior quando, ao aumentar a renda, a quantidade diminui — a variação é negativa.
Matematicamente, usamos a derivada parcial da quantidade em relação à renda para ver o sinal dessa resposta. Se a derivada parcial for positiva, o bem é normal; se for negativa, o bem é inferior.

Passo 3

O que é derivada parcial e por que usar aqui (mini-aula):
  • A derivada parcial \dfrac{\partial \mathrm{q}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{R}} mede a sensibilidade da variável \mathrm{q}_{\mathrm{x}} a pequenas variações em \mathrm{R}, mantendo as demais variáveis ( \mathrm{p}_{\mathrm{x}} e \mathrm{p}_{\mathrm{y}}) fixas.
  • Em uma função linear como a dada, a derivada parcial em relação a \mathrm{R} é simplesmente o coeficiente que multiplica \mathrm{R}. Isso porque as outras parcelas não dependem de \mathrm{R}.

Passo 4

Calcular a derivada parcial:
A função é
\mathrm{q}_{\mathrm{x}}=30-1,5\mathrm{p}_{\mathrm{x}}+0,8\mathrm{p}_{\mathrm{y}}+10\mathrm{R}.
Tomando a derivada parcial em relação a \mathrm{R}, tratando \mathrm{p}_{\mathrm{x}} e \mathrm{p}_{\mathrm{y}} como constantes, obtemos
\frac{\partial \mathrm{q}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{R}}=10.
Expliquei: o termo 30 e os termos com \mathrm{p}_{\mathrm{x}} e \mathrm{p}_{\mathrm{y}} desaparecem na derivada em relação a \mathrm{R}; sobra o coeficiente 10.

Passo 5

Interpretar o sinal e dar intuição com números:
  • Como \dfrac{\partial \mathrm{q}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{R}}=10>0, a quantidade ofertada aumenta quando a renda aumenta.
  • Exemplo numérico: se a renda aumenta em \Delta \mathrm{R}=1, então \Delta \mathrm{q}_{\mathrm{x}}=10\cdot 1=10. Se a renda aumenta em \Delta \mathrm{R}=0,1, então \Delta \mathrm{q}_{\mathrm{x}}=10\cdot 0,1=1. Ou seja, variações positivas de renda geram variações positivas na quantidade.

Passo 6

Observação sobre demanda versus oferta (clareza conceitual):
  • Normal/inferior é um conceito que costuma ser usado para quantidade demandada quando se fala de preferência do consumidor. Aqui o enunciado deu uma relação da quantidade ofertada com a renda; mesmo assim, a lógica do sinal da sensibilidade à renda é a mesma: coeficiente positivo indica resposta positiva à renda.
  • Portanto, com base na função dada e no sinal da sensibilidade à renda, concluímos a classificação pedida.

Resposta

O bem x é normal, porque \dfrac{\partial \mathrm{q}_{\mathrm{x}}}{\partial \mathrm{R}}=10>0.

Exercícios relacionados