Suponha as curvas de oferta e demanda de uma mercadoria X sejam dadas, respectivamente, por \mathrm{Q}_{\mathrm{O}}=2 +0,1 \mathrm{P}_{\mathrm{O}} e \mathrm{Q}_{\mathrm{D}}=5-0,2 \mathrm{P}_{\mathrm{D}}. Calcule a quantidade e preço de equilíbrio.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas (equações) e pede o preço e a quantidade de equilíbrio. As informações fornecidas são:
\mathrm{Q}_{\mathrm{O}} = 2 + 0,1\mathrm{P}_{\mathrm{O}}
\mathrm{Q}_{\mathrm{D}} = 5 - 0,2\mathrm{P}_{\mathrm{D}}
As perguntas são: qual é a quantidade de equilíbrio e qual é o preço de equilíbrio?

Passo 2

Vamos entender o que cada símbolo quer dizer (para não se perder):
  • \mathrm{Q}_{\mathrm{O}} é a quantidade oferecida da mercadoria X (oferta).
  • \mathrm{Q}_{\mathrm{D}} é a quantidade demandada da mercadoria X (demanda).
  • \mathrm{P}_{\mathrm{O}} é o preço na curva de oferta.
  • \mathrm{P}_{\mathrm{D}} é o preço na curva de demanda.
Em equilíbrio de mercado, os compradores e vendedores concordam em um mesmo preço e as quantidades se igualam. Portanto, no equilíbrio vale:
\mathrm{P}_{\mathrm{O}}=\mathrm{P}_{\mathrm{D}}=\mathrm{P}^* \qquad\text{e}\qquad \mathrm{Q}_{\mathrm{O}}=\mathrm{Q}_{\mathrm{D}}=\mathrm{Q}^*

Passo 3

Pelo item anterior, para encontrar o equilíbrio basta igualar as duas expressões para a quantidade, substituindo o preço por uma variável única \mathrm{P}. Assim:
2 + 0,1\mathrm{P} = 5 - 0,2\mathrm{P}
Aqui eu usei \mathrm{P} em vez de \mathrm{P}_{\mathrm{O}} ou \mathrm{P}_{\mathrm{D}} porque no equilíbrio o preço é o mesmo para oferta e demanda.

Passo 4

Agora resolvemos a equação acima passo a passo (álgebra básica de mover termos e dividir):
Primeiro somo 0,2\mathrm{P} aos dois lados para juntar os termos com \mathrm{P} no mesmo lado:
2 + 0,1\mathrm{P} + 0,2\mathrm{P} = 5
Isso dá:
2 + 0,3\mathrm{P} = 5
Agora subtraio 2 de ambos os lados:
0,3\mathrm{P} = 5 - 2
0,3\mathrm{P} = 3

Passo 5

Divido ambos os lados por 0,3 para isolar \mathrm{P}:
\mathrm{P} = \frac{3}{0,3}
Calculemos \frac{3}{0,3}. Multiplicando numerador e denominador por 10 fica \frac{30}{3}=10. Logo:
\mathrm{P}^* = 10
Esse é o preço de equilíbrio.

Passo 6

Agora que temos \mathrm{P}^*=10, calculamos a quantidade de equilíbrio substituindo em qualquer das duas curvas (tanto faz oferta ou demanda). Usando a oferta:
\mathrm{Q}^* = 2 + 0,1\cdot 10
Calcule 0,1\cdot 10 = 1, então
\mathrm{Q}^* = 2 + 1 = 3

Passo 7

Verificação rápida usando a demanda (para ter certeza de que não deu erro):
\mathrm{Q}_{\mathrm{D}} = 5 - 0,2\cdot 10 = 5 - 2 = 3
Confere com a oferta: \mathrm{Q}^*=3. Tudo consistente.

Resposta

\mathrm{P}^* = 10
\mathrm{Q}^* = 3

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