Considere R a região compreendida entre os gráficos das funções y=\cos x e y=\operatorname{sen} x, \operatorname{com} 0 \leqslant x \leqslant \pi.
(a) Represente graficamente a região R.
(b) Calcule a área da região $R.
O conteúdo utilizado será cálculo de integrais definidas e propriedades de funções trigonométricas.
Passo 2
Para representar graficamente R, traçamos os gráficos de y=\cos x e de y=\sin x no intervalo 0\le x\le\pi, marcamos o ponto de interseção em x=\pi/4 e sombreamos a região entre as duas curvas, limitada pelas retas verticais x=0 e x=\pi.
Passo 3
Encontramos o ponto onde as curvas se cruzam resolvendo
\sin x = \cos x
\tan x = 1
x = \frac\pi4.
Passo 4
Em 0\le x\le \pi/4 temos \cos x\ge \sin x, e em \pi/4\le x\le \pi vale \sin x\ge \cos x. Isso nos permite montar a integral da área como diferença das curvas em cada tramo.
Passo 5
A área de R é
\int_{0}^{\pi} \bigl|\cos x - \sin x\bigr|\,dx = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx + \int_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x)\,dx.
Passo 6
Calculemos
\int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\,dx = \Bigl[\sin x + \cos x\Bigr]_{0}^{\pi/4} = \bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}+\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)-\bigl(0+1\bigr) = \sqrt2 - 1.
Passo 7
E
\int_{\pi/4}^{\pi} (\sin x - \cos x)\,dx = \Bigl[-\cos x - \sin x\Bigr]_{\pi/4}^{\pi} = \bigl[-(-1)-0\bigr]-\bigl[-\tfrac{\sqrt2}{2}-\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr] = 1 - (-\sqrt2) = 1+\sqrt2.
Passo 8
Somando as duas parcelas:
(\sqrt2 - 1) + (1 + \sqrt2) = 2\sqrt2.
Resposta
(a) A região R é o conjunto de pontos entre os gráficos de y=\cos x e y=\sin x para 0\le x\le\pi, intersectando-se em x=\pi/4, e limitada pelas retas x=0 e x=\pi.
(b) A área de R é 2\sqrt2.