Calcule:
\int_{1}^{3}\left(5+\frac{1}{x^{2}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{1}^{3}\Bigl(5 + \frac{1}{x^{2}}\Bigr)\,dx.
Estamos trabalhando com integrais de funções elementares e vamos usar a propriedade de linearidade do integral e a regra de potência para obter a antiderivada.

Passo 2

Pela linearidade do integral, podemos separar
\int_{1}^{3}\Bigl(5 + x^{-2}\Bigr)\,dx = \int_{1}^{3}5\,dx \;+\; \int_{1}^{3}x^{-2}\,dx.

Passo 3

Calculamos cada antiderivada. Para 5 temos
\int 5\,dx = 5x,
e para x^{-2} (regra de potência) temos
\int x^{-2}\,dx = \int x^{(-2)}\,dx = \frac{x^{(-1)}}{-1} = -\,x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Logo, uma primitiva comum é
F(x) = 5x - \frac{1}{x}.

Passo 4

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos F entre 1 e 3:
F(3) - F(1) = \Bigl(5\cdot 3 - \tfrac{1}{3}\Bigr) \;-\; \Bigl(5\cdot 1 - \tfrac{1}{1}\Bigr) = \Bigl(15 - \tfrac{1}{3}\Bigr) - (5 - 1) = 15 - \tfrac{1}{3} - 4 = 11 - \tfrac{1}{3} = \tfrac{33 - 1}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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