(\mathbf{1}, \mathbf{0}) Determine a função y=y(x), x \in \mathbb{R}, tal que
\frac{d y}{d x}=3 x-1 \text { e } y(0)=1

Passo 1

O enunciado mostra uma equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{dy}{dx}=3x-1 para x\in\mathbb{R} com condição inicial y(0)=1.
O conteúdo é solução de ODE por integração direta e ajuste da constante.

Passo 2

Integramos ambos os lados em relação a x. Assim,
y(x)=\int(3x-1)\,dx = \frac{3x^2}{2} - x + C
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 na expressão geral:
y(0)=\frac{3\cdot0^2}{2} - 0 + C = C = 1.
Logo, C=1.

Resposta

y(x)=\frac{3}{2}x^2 - x + 1.

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