Considere r e s duas retas paralelas com equações a x+b y+c_{1}=0 e a x+b y+c_{2}=0.
(a) Determine equações paramétricas para uma reta q perpendicular a r e a s.
(b) Determine os pontos de interseção de q com r e com s.
(c) Use os itens anteriores para deduzir uma fórmula para a distância entre duas retas paralelas. Para a dedução dessa fórmula, faz diferença qual é a reta perpendicular escolhida?

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas
r:\;a x + b y + c_{1} = 0 \quad\text{e}\quad s:\;a x + b y + c_{2} = 0
e pede: (a) uma reta q que seja perpendicular a ambas, (b) os pontos de interseção de q com r e com s, e (c) a fórmula da distância entre r e s, comentando se a escolha de q faz diferença. O conteúdo é geometria analítica: escolhemos um vetor diretor de q paralelo ao vetor normal (a,b) de r e s, escolhemos um ponto em r, escrevemos a forma paramétrica, achamos interseções e medimos o segmento entre elas.

Passo 2

Seja (x_{0},y_{0}) qualquer ponto em r, isto é, tal que
a x_{0} + b y_{0} + c_{1} = 0.
Por exemplo, se a\neq0 dá para escolher x_{0}=-\tfrac{c_{1}}{a},y_{0}=0, e se b\neq0 dá para escolher x_{0}=0,y_{0}=-\tfrac{c_{1}}{b}. O importante é que (x_{0},y_{0}) satisfaça a equação de r.

Passo 3

Como vetor normal de r e s é \mathbf{n}=(a,b), a reta q perpendicular a elas pode ter vetor diretor \mathbf{d}=(a,b) e passar por (x_{0},y_{0}). Logo a forma paramétrica é
q:\quad \begin{cases} x(t)=x_{0}+a\,t,\\\ y(t)=y_{0}+b\,t. \end{cases}

Passo 4

Para achar a interseção de q com r, basta impor que (x(t),y(t)) satisfaça a x + b y + c_{1}=0. Substituindo,
a(x_{0}+a\,t)+b(y_{0}+b\,t)+c_{1} =(a x_{0}+b y_{0}+c_{1})+(a^{2}+b^{2})\,t =0+(a^{2}+b^{2})\,t.
Como a x_{0}+b y_{0}+c_{1}=0, segue t=0. Portanto
P_{r}=q\cap r=(x_{0},y_{0}).

Passo 5

Para achar q\cap s, impomos a(x_{0}+a\,t)+b(y_{0}+b\,t)+c_{2}=0. Isso dá
(a x_{0}+b y_{0}+c_{2})+(a^{2}+b^{2})\,t=0 \;\Longrightarrow\; t_{2}=-\frac{a x_{0}+b y_{0}+c_{2}}{a^{2}+b^{2}} =-\frac{c_{2}-c_{1}}{a^{2}+b^{2}}.
Assim
P_{s}=q\cap s =\bigl(x_{0}+a\,t_{2},\;y_{0}+b\,t_{2}\bigr).

Passo 6

A distância entre r e s é o comprimento do segmento P_{r}P_{s}. Como
P_{r}P_{s} =\bigl(a\,t_{2},\,b\,t_{2}\bigr),
temos
\mathrm{dist}(r,s) =\sqrt{(a\,t_{2})^{2}+(b\,t_{2})^{2}} =|t_{2}|\sqrt{a^{2}+b^{2}} =\frac{|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Essa fórmula não depende de qual ponto inicial (x_{0},y_{0}) ou de qual reta q perpendicular escolhemos, pois qualquer reta perpendicular mede a mesma distância mínima entre duas paralelas.

Resposta

(a) Seja (x_{0},y_{0})\) em \(r\). Então \[q:\quad \begin{cases} x=x_{0}+a\,t,\\\ y=y_{0}+b\,t, \end{cases}
é perpendicular a r\] e \(s.
(b)
q\cap r=(x_{0},y_{0}), \quad q\cap s=\Bigl(x_{0}-\tfrac{a(c_{2}-c_{1})}{a^{2}+b^{2}},\;y_{0}-\tfrac{b(c_{2}-c_{1})}{a^{2}+b^{2}}\Bigr).
(c)
\mathrm{dist}(r,s)=\frac{|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
e não faz diferença qual reta perpendicular escolhemos.

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