Considere a reta r de equação cartesiana a x+b y+c=0 e o ponto A=\left(x_{0}, y_{0}\right).
(a) Determine equações paramétricas para a reta q que é perpendicular a r e passa por A.
(b) Determine o ponto de interseção entre as retas r e q.
(c) Use os itens anteriores para achar uma fórmula genérica para a distância entre um ponto e uma reta.

Passo 1

O enunciado dá uma reta r de equação cartesiana
a x + b y + c = 0
e um ponto A=(x_0,y_0).
(a) Queremos uma reta q perpendicular a r que passe por A. Para isso precisamos lembrar que o vetor normal a r é (a,b), e que uma reta perpendicular a r tem direção paralela a esse vetor normal.
(b) Depois vamos encontrar o ponto de interseção P de q com r resolvendo o sistema formado pelas equações de r e de q.
(c) Finalmente, a distância de A a r é o comprimento do segmento AP, que usaremos para deduzir a fórmula genérica.

Passo 2

Para definir q: como ela é perpendicular a r, seu vetor diretor pode ser escolhido como
\vec v = (a,b).
Como q passa por A=(x_0,y_0), as equações paramétricas são
x = x_0 + a\,t,
y = y_0 + b\,t,
onde t\in\mathbb R.

Passo 3

Para achar o ponto de interseção P entre r e q, substituímos as paramétricas de q na equação de r:
a(x_0 + a\,t) + b(y_0 + b\,t) + c = 0 \quad\Longrightarrow\quad (a^2+b^2)\,t + (a x_0 + b y_0 + c)=0.
Dessa relação isolamos t:
t = -\frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}.
Substituindo esse valor em x e y, obtemos as coordenadas de P:
P\Bigl(x_0 - a\frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}\;,\; y_0 - b\frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}\Bigr).

Passo 4

A distância de A a r é o módulo do vetor \overrightarrow{AP}. Como q tem direção (a,b), o comprimento de \overrightarrow{AP} é \bigl|t\bigr|\sqrt{a^2+b^2}. Logo,
\text{dist}(A,r) = \bigl|t\bigr|\,\sqrt{a^2+b^2} = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Resposta

(a) As equações paramétricas de q são
x = x_0 + a\,t,\quad y = y_0 + b\,t.
(b) O ponto de interseção P é
P\Bigl(x_0 - a\frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}\;,\; y_0 - b\frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^2 + b^2}\Bigr).
(c) A distância de A à reta r é
\frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2}}.

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