Considere
e
duas retas paralelas com equações
e
.
(a) Determine equações paramétricas para uma reta
perpendicular a
e a
.
(b) Determine os pontos de interseção de
com
e com
.
(c) Use os itens anteriores para deduzir uma fórmula para a distância entre duas retas paralelas. Para a dedução dessa fórmula, faz diferença qual é a reta perpendicular escolhida?
(a) Determine equações paramétricas para uma reta
(b) Determine os pontos de interseção de
(c) Use os itens anteriores para deduzir uma fórmula para a distância entre duas retas paralelas. Para a dedução dessa fórmula, faz diferença qual é a reta perpendicular escolhida?
Passo 1
O enunciado dá duas retas paralelas
e pede: (a) uma reta
que seja perpendicular a ambas, (b) os pontos de interseção de
com
e com
, e (c) a fórmula da distância entre
e
, comentando se a escolha de
faz diferença. O conteúdo é geometria analítica: escolhemos um vetor diretor de
paralelo ao vetor normal
de
e
, escolhemos um ponto em
, escrevemos a forma paramétrica, achamos interseções e medimos o segmento entre elas.
Passo 2
Seja
qualquer ponto em
, isto é, tal que
Por exemplo, se
dá para escolher
, e se
dá para escolher
. O importante é que
satisfaça a equação de
.
Passo 3
Como vetor normal de
e
é
, a reta
perpendicular a elas pode ter vetor diretor
e passar por
. Logo a forma paramétrica é
Passo 4
Para achar a interseção de
com
, basta impor que
satisfaça
. Substituindo,
Como
, segue
. Portanto
Passo 5
Para achar
, impomos
. Isso dá
Assim
Passo 6
A distância entre
e
é o comprimento do segmento
. Como
temos
Essa fórmula não depende de qual ponto inicial
ou de qual reta
perpendicular escolhemos, pois qualquer reta perpendicular mede a mesma distância mínima entre duas paralelas.
Resposta
(a) Seja
é perpendicular a
.
(b)
(c)
e não faz diferença qual reta perpendicular escolhemos.