Considere A=(1,2), e r e s as retas de equações (x, y)=(t-1,1-t) e y=2-x, respectivamente. Determine as distâncias entre:
r e s.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre as retas r e s. Isso é um problema de retas paralelas, em que usamos a fórmula da distância entre duas retas paralelas dadas em forma geral
ax+by+c_1=0\quad\text{e}\quad ax+by+c_2=0
que é
\frac{\bigl|c_2-c_1\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}}.

Passo 2

Vamos achar a forma geral de r. A forma paramétrica é
(x,y)=(t-1,\,1-t),
ou seja
x=t-1,\quad y=1-t.
Somando as duas equações:
x+y=(t-1)+(1-t)=0,
logo a equação de r em forma geral é
x+y=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+y+0=0.

Passo 3

A reta s já está em forma geral:
y=2-x\quad\Longleftrightarrow\quad x+y-2=0.
Portanto as duas retas são
r:\;x+y+0=0, \quad s:\;x+y-2=0.
Como os coeficientes de x e y são iguais, elas são paralelas.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância entre paralelas, com a=1, b=1, c_1=0 e c_2=-2, temos
d=\frac{\bigl|c_2-c_1\bigr|}{\sqrt{a^2+b^2}} =\frac{\bigl|-2-0\bigr|}{\sqrt{1^2+1^2}} =\frac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2}.

Resposta

\sqrt{2}

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