Estabelecer a expressão do tempo de reação em termos da conversão ( X_{A} ) para as seguintes reações gasosas irreversíveis, considerando que elas são realizadas sob condições isotérmica e isobárica, e assumindo que a mistura reacional se comporta como gás ideal.
2 \mathrm{~A}_{(\mathrm{g})} \rightarrow \mathrm{B}_{(\mathrm{g})}
\left(-r_{A}\right)=k C_{A}^{2} \quad \text { Alimentação: Apenas o reagente } A\left(N_{A 0}\right)çã

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • Reação: 2\mathrm{A}_{(g)} \rightarrow \mathrm{B}_{(g)}.
  • Lei de velocidade (taxa de consumo de A por volume): \left(-r_{A}\right)=k C_{A}^{2}.
  • Alimentação inicial: apenas o reagente A, com N_{A0} mol (ou seja, N_{B0}=0 e sem inertes).
  • Condições: isotérmica e isobárica; mistura comporta-se como gás ideal.
O que se pede: obter a expressão do tempo de reação t em função da conversão X_{A} (ou seja, t=t(X_{A})), explicando passo a passo.

Passo 2

Definição de conversão e números de mols em função de X_{A}.
  • Conversão de A: \displaystyle X_{A}=\frac{N_{A0}-N_{A}}{N_{A0}}.
  • Então \displaystyle N_{A}=N_{A0}\,(1-X_{A}).
Usando extensão de reação \xi (para checar coeficientes) com \nu_{A}=-2 e \nu_{B}=+1: \xi=\dfrac{N_{A0}X_{A}}{2}. Assim \displaystyle N_{B}=\xi=\dfrac{N_{A0}X_{A}}{2}.
Número total de mols \,N_{T}=N_{A}+N_{B}:
N_{T}=N_{A0}(1-X_{A})+\dfrac{N_{A0}X_{A}}{2}=N_{A0}\Bigl(1-\dfrac{X_{A}}{2}\Bigr).

Passo 3

Relação volume — gás ideal e concentração de A.
Pelo gás ideal, em isotérmico-isobárico:
V=\dfrac{N_{T}RT}{P}.
Defina V_{0}=\dfrac{N_{A0}RT}{P}, que é o volume inicial (quando X_{A}=0). Usando N_{T} acima:
V=V_{0}\Bigl(1-\dfrac{X_{A}}{2}\Bigr).
A concentração de A é \displaystyle C_{A}=\dfrac{N_{A}}{V}. Substituindo:
C_{A}=\dfrac{N_{A0}(1-X_{A})}{V_{0}\bigl(1-\tfrac{X_{A}}{2}\bigr)}.
Defina a concentração inicial \displaystyle C_{A0}=\dfrac{N_{A0}}{V_{0}}=\dfrac{P}{RT}. Então
C_{A}=C_{A0}\,\dfrac{1-X_{A}}{1-\tfrac{X_{A}}{2}}.

Passo 4

Balanço de material para reator batelada (batch) e montagem da equação diferencial para X_{A}(t).
No batelada vale:
\dfrac{dN_{A}}{dt}=r_{A}V.
Lembrando que -r_{A}=kC_{A}^{2} é positivo, então r_{A}=-kC_{A}^{2}. Assim o consumo dá
\dfrac{dN_{A}}{dt}=-kC_{A}^{2}V.
Como N_{A}=N_{A0}(1-X_{A}) temos \dfrac{dN_{A}}{dt}=-N_{A0}\dfrac{dX_{A}}{dt}. Igualando:
-N_{A0}\dfrac{dX_{A}}{dt}=-kC_{A}^{2}V
ou
N_{A0}\dfrac{dX_{A}}{dt}=kC_{A}^{2}V.
Substitua C_{A} e V em função de X_{A}. Primeiro C_{A}^{2}=\dfrac{N_{A0}^{2}(1-X_{A})^{2}}{V^{2}}. Então
N_{A0}\dfrac{dX_{A}}{dt}=k\,\dfrac{N_{A0}^{2}(1-X_{A})^{2}}{V^{2}}\,V = k\,\dfrac{N_{A0}^{2}(1-X_{A})^{2}}{V}.
Dividindo por N_{A0}:
\dfrac{dX_{A}}{dt}=k\,\dfrac{N_{A0}(1-X_{A})^{2}}{V}.
Agora use V=V_{0}\bigl(1-\tfrac{X_{A}}{2}\bigr) e N_{A0}/V_{0}=C_{A0}. Assim:
\dfrac{dX_{A}}{dt}=k\,\dfrac{C_{A0}(1-X_{A})^{2}}{1-\tfrac{X_{A}}{2}}.

Passo 5

Separação de variáveis e integral para obter t(X_{A}).
Reescrevendo:
dt=\dfrac{1}{kC_{A0}}\cdot\dfrac{1-\tfrac{X_{A}}{2}}{(1-X_{A})^{2}}\,dX_{A}.
Integre de X_{A}=0 (tempo t=0) até X_{A}=X (tempo t):
t=\dfrac{1}{kC_{A0}}\int_{0}^{X}\dfrac{1-\tfrac{x}{2}}{(1-x)^{2}}\,dx.
Para integrar, simplifique o integrando. Note que
\dfrac{1-\tfrac{x}{2}}{(1-x)^{2}}=\dfrac{2-x}{2(1-x)^{2}}=\dfrac{1}{2}\Bigl(\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{(1-x)^{2}}\Bigr).
Verificação rápida: expandindo a soma dá \dfrac{1}{2}\cdot\frac{(1-x)+1}{(1-x)^{2}}=\dfrac{2-x}{2(1-x)^{2}}. Bom.
Agora integramos termo a termo:
\int \dfrac{1}{1-x}\,dx=-\ln(1-x), \qquad \int \dfrac{1}{(1-x)^{2}}\,dx=\dfrac{1}{1-x}.
Portanto a primitiva do integrando é
\dfrac{1}{2}\Bigl(-\ln(1-x)+\dfrac{1}{1-x}\Bigr)+C.
Avalie de 0 a X:
\int_{0}^{X}\dfrac{1-\tfrac{x}{2}}{(1-x)^{2}}\,dx=\dfrac{1}{2}\Bigl(-\ln(1-X)+\dfrac{1}{1-X}-1\Bigr).
Substituindo na expressão de t:
t=\dfrac{1}{kC_{A0}}\cdot\dfrac{1}{2}\Bigl(-\ln(1-X_{A})+\dfrac{1}{1-X_{A}}-1\Bigr).

Passo 6

Escrever a resposta final de forma limpa e dar a forma usando P,\,R,\,T se desejar.
Usando C_{A0}=\dfrac{P}{RT} (pois inicialmente só há A e ideal) obtemos a forma alternativa substituída.

Resposta

t=\dfrac{1}{2kC_{A0}}\Bigl(\dfrac{1}{1-X_{A}}-\ln(1-X_{A})-1\Bigr)
t=\dfrac{RT}{2kP}\Bigl(\dfrac{1}{1-X_{A}}-\ln(1-X_{A})-1\Bigr)

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