Considere um reator CSTR onde acontecem reações em série e em paralelo para obtenção dos produtos C e D, descritas como segue:
2 A xrightarrowk1 B xrightarrowk2 C 2 A xrightarrowk3 D
Considerando as propriedades físicas constantes; o volume do reator constante; que não existe mudança de fase; que o processo é isotérmico; mistura perfeita; que as vazões (volumétricas) do reação são consideradas constantes; que a reação é de primeira ordem de B para C e de segunda ordem de A para B e de A para D e que apenas o componente A é alimentado no reator; o modelo que descreve a dinâmica do processo é dado por:
d CAd t=FV(CA e-CA)-k1 CA^2-k3 CA^2, CA(0)=CA 0 d CBd t=FV(CB e-CB)+k1 CA^2-k2 CB, CB(0)=CB 0 d CCd t=FV(CC e-CC)+k2 CB, CC(0)=CC 0 d CDd t=FV(CD e-CD)+k3 CA^2, CD(0)=CD 0
em que t é o tempo; CA, CB, CC e CD são as concentrações dos componentes A, B, C e D , respectivamente; F e V representam a vazão e o volume do sistema, respectivamente; CA e, CB e, CC e e CD e representam as concentrações na corrente de alimentação dos componentes A, B, C e D respectivamente; ki é a constante de reação (i=1,2,3) e CA 0, CB 0, CC 0 e CD 0 são as concentrações iniciais dos componentes A, B, C e D dentro do reator, respectivamente.
Sabendo que k1=5 / 6 min^-1, k2=5 / 3 min^-1, k3=1 / 6 L /(mol min), CA e=10 mol / L, CB e=CC e =CD e=0 mol / L, V=1 L e F=4 / 7 L / min, determine a condição do estado estacionário e o modelo linearizado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um reator CSTR (Reator Contínuo de Batelada Misturada). A gente vai precisar usar conceitos de balanço de massa para determinar as condições de estado estacionário e depois linearizar o modelo. Vamos precisar das equações diferenciais fornecidas e dos valores das constantes e condições iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é estado estacionário. No estado estacionário, as concentrações dos componentes não mudam mais com o tempo. Isso significa que as derivadas em relação ao tempo são iguais a zero. Então, vamos igualar as equações diferenciais a zero.

Passo 3

Começamos com a equação para d CAd t = FV(CA e - CA) - k1 CA^2 - k3 CA^2 = 0 :
FV(CA e - CA) = (k1 + k3) CA^2
Podemos simplificar:

Passo 4

Resolveremos para F(CA e - CA) = V(k1 + k3) CA^2 :
47(10 - CA) = 1(56 + 16) CA^2
Substituindo os valores dados:
47(10 - CA) = 1 cdot 1 cdot CA^2 Rightarrow 47(10 - CA) = CA^2
Simplificando os coeficientes:
4(10 - CA) = 7 CA^2 Rightarrow 40 - 4 CA = 7 CA^2
Multiplicando ambos os lados por 7 para eliminar o denominador:
7 CA^2 + 4 CA - 40 = 0
Rearranjando:

Passo 5

Agora, resolvemos essa equação quadrática para CA = -b pm raizb^2 - 4ac2a usando a fórmula de Bhaskara:
CA = -4 pm raiz16 + 112014 = -4 pm raiz113614
Onde raiz1136 approx 33.7 , CA = -4 + 33.714 approx 29.714 approx 2.12 , mol/L , e :
Calculando a raiz:
Então:
Desconsideramos a solução negativa, pois concentração não pode ser negativa.

Passo 6

Agora que temos d CBd t = 0 = FV(CB e - CB) + k1 CA^2 - k2 CB no estado estacionário, vamos encontrar 0 = -47 CB + 56 (2.12)^2 - 53 CB , -(47 + 53) CB + 56 times 4.4944 = 0 e -(1221 + 3521) CB + 3.745 = 0 Rightarrow -4721 CB + 3.745 = 0 .
Para CB = 3.745 times 2147 approx 78.64547 approx 1.675 , mol/L :
Como :
Somando os termos de :
Calculando:
Resolvendo para :

Passo 7

Para d CCd t = 0 = FV(CC e - CC) + k2 CB :
0 = -47 CC + 53 times 1.675
Como CC = 53 times 1.675 times 74 approx 53 times 11.7254 approx 53 times 2.93125 approx 4.885 , mol/L :
Resolvendo para :

Passo 8

Para d CDd t = 0 = FV(CD e - CD) + k3 CA^2 :
0 = -47 CD + 16 times (2.12)^2
Como CD = 16 times 4.4944 times 74 approx 0.74907 times 74 approx 5.24354 approx 1.311 , mol/L :
Calculando:

Passo 9

Agora que temos todas as concentrações no estado estacionário, podemos linearizar o modelo. Para isso, precisamos calcular a matriz Jacobiana das equações diferenciais avaliadas no ponto de estado estacionário.
A matriz Jacobiana J = partial fApartial CA & partial fApartial CB & partial fApartial CC & partial fApartial CD partial fBpartial CA & partial fBpartial CB & partial fBpartial CC & partial fBpartial CD partial fCpartial CA & partial fCpartial CB & partial fCpartial CC & partial fCpartial CD partial fDpartial CA & partial fDpartial CB & partial fDpartial CC & partial fDpartial CD é dada pelas derivadas parciais das equações em relação às concentrações:
partial fApartial CA = -FV - 2k1 CA - 2k3 CA
Calculando as derivadas:
partial fApartial CB = 0
partial fApartial CC = 0
partial fApartial CD = 0
partial fBpartial CA = 2k1 CA
partial fBpartial CB = -FV - k2
partial fBpartial CC = 0
partial fBpartial CD = 0
partial fCpartial CA = 0
partial fCpartial CB = k2
partial fCpartial CC = -FV
partial fCpartial CD = 0
partial fDpartial CA = 2k3 CA
partial fDpartial CB = 0
partial fDpartial CC = 0
partial fDpartial CD = -FV
J = -47 - 2 times 56 times 2.12 - 2 times 16 times 2.12 & 0 & 0 & 0 2 times 56 times 2.12 & -47 - 53 & 0 & 0 0 & 53 & -47 & 0 2 times 16 times 2.12 & 0 & 0 & -47
Substituindo os valores no estado estacionário:
J approx -0.571 - 3.533 - 0.707 & 0 & 0 & 0 3.533 & -0.571 - 1.667 & 0 & 0 0 & 1.667 & -0.571 & 0 0.707 & 0 & 0 & -0.571 approx -4.811 & 0 & 0 & 0 3.533 & -2.238 & 0 & 0 0 & 1.667 & -0.571 & 0 0.707 & 0 & 0 & -0.571
Calculando os valores:

Resposta

A condição de estado estacionário é alcançada quando as concentrações são J approx -4.811 & 0 & 0 & 0 3.533 & -2.238 & 0 & 0 0 & 1.667 & -0.571 & 0 0.707 & 0 & 0 & -0.571 , , e . O modelo linearizado ao redor desse ponto é representado pela matriz Jacobiana:

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