O modelo que representa a transferência de calor em uma aleta retangular é dada pela seguinte relação:
em que
é a coordenada espacial
e
é a temperatura,
é um parâmetro que relaciona coordenadas geométricas e parâmetros termo-físicos,
e
representam as temperaturas ambiente e da parede no qual a aleta está fixada, respectivamente. Para este modelo, qual é o estado estacionário? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor em uma aleta retangular. O que a gente precisa entender aqui é como a temperatura se distribui ao longo da aleta quando tudo está estabilizado, ou seja, no estado estacionário. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais e aplicar as condições de contorno que foram dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que descreve a transferência de calor na aleta:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a variação da temperatura
ao longo da posição
na aleta. Aqui,
é um parâmetro que combina características geométricas e propriedades térmicas do material,
é a temperatura ambiente, e
é a temperatura na superfície onde a aleta está fixada.
Passo 3
Para encontrar o estado estacionário, precisamos resolver essa equação diferencial. Vamos reescrever a equação para facilitar:
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea associada (
) mais uma solução particular da não homogênea.
Passo 4
Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
A solução geral dessa equação é:
Onde
e
são constantes que vão ser determinadas pelas condições de contorno.
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é uma constante, uma solução particular pode ser uma constante também. Suponha
. Substituindo na equação original:
Então, nossa solução particular é
.
Passo 5
A solução geral da equação diferencial é a soma das soluções homogênea e particular:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar
e
.
Primeira condição de contorno:
Segunda condição de contorno:
Primeiro, vamos derivar :
Primeiro, vamos derivar
Aplicando
:
Substituindo na equação (1):
E, consequentemente:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na solução geral:
Simplificando:
Resposta
O estado estacionário da temperatura na aleta retangular é dado por: