O modelo que representa a transferência de calor em uma aleta retangular é dada pela seguinte relação:
d^2 Td z^2=Omega(T-Ta) T(z=0)=Ts d Td z(z=1)=0
em que z é a coordenada espacial (0 <= z <= 1) e T é a temperatura, Omega é um parâmetro que relaciona coordenadas geométricas e parâmetros termo-físicos, Ta e Ts representam as temperaturas ambiente e da parede no qual a aleta está fixada, respectivamente. Para este modelo, qual é o estado estacionário? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício sobre transferência de calor em uma aleta retangular. O que a gente precisa entender aqui é como a temperatura se distribui ao longo da aleta quando tudo está estabilizado, ou seja, no estado estacionário. Para resolver isso, vamos precisar trabalhar com equações diferenciais e aplicar as condições de contorno que foram dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação diferencial que descreve a transferência de calor na aleta:
d^2 Td z^2 = Omega (T - Ta)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem que relaciona a variação da temperatura ao longo da posição na aleta. Aqui, é um parâmetro que combina características geométricas e propriedades térmicas do material, é a temperatura ambiente, e é a temperatura na superfície onde a aleta está fixada.

Passo 3

Para encontrar o estado estacionário, precisamos resolver essa equação diferencial. Vamos reescrever a equação para facilitar:
d^2 Td z^2 - Omega T = -Omega Ta
Essa é uma equação diferencial linear não homogênea. A solução geral dessa equação é a soma da solução da equação homogênea associada ( ) mais uma solução particular da não homogênea.

Passo 4

Vamos resolver a equação homogênea primeiro:
d^2 Td z^2 - Omega T = 0
A solução geral dessa equação é:
Th(z) = C1 e^raizOmega z + C2 e^-raizOmega z
Onde 0 = Omega (Ta - Ta) Rightarrow 0 = 0 e são constantes que vão ser determinadas pelas condições de contorno.
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como o termo não homogêneo é uma constante, uma solução particular pode ser uma constante também. Suponha . Substituindo na equação original:
Então, nossa solução particular é .

Passo 5

A solução geral da equação diferencial é a soma das soluções homogênea e particular:
T(z) = C1 e^raizOmega z + C2 e^-raizOmega z + Ta

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições de contorno para encontrar T(0) = C1 + C2 + Ta = Ts Rightarrow C1 + C2 = Ts - Ta (1) e d Td z = C1 raizOmega e^raizOmega z - C2 raizOmega e^-raizOmega z .
Primeira condição de contorno: C1 raizOmega e^raizOmega - C2 raizOmega e^-raizOmega = 0 Rightarrow C1 e^raizOmega = C2 e^-raizOmega Rightarrow C1 = C2 e^-2raizOmega
C2 e^-2raizOmega + C2 = Ts - Ta C2 (1 + e^-2raizOmega) = Ts - Ta Rightarrow C2 = Ts - Ta1 + e^-2raizOmega
Segunda condição de contorno: C1 = Ts - Ta1 + e^-2raizOmega e^-2raizOmega
Primeiro, vamos derivar :
Aplicando :
Substituindo na equação (1):
E, consequentemente:

Passo 7

Agora, substituímos T(z) = ( Ts - Ta1 + e^-2raizOmega e^-2raizOmega ) e^raizOmega z + ( Ts - Ta1 + e^-2raizOmega ) e^-raizOmega z + Ta e T(z) = (Ts - Ta) e^raizOmegaz + e^-raizOmega(z+2)1 + e^-2raizOmega + Ta na solução geral:
Simplificando:

Resposta

O estado estacionário da temperatura na aleta retangular é dado por:
T(z) = (Ts - Ta) e^raizOmega z + e^-raizOmega(z + 2)1 + e^-2raizOmega + Ta

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