Determine TODAS as condições de estado estacionário do reator biológico descrito pelos seguintes balanços de massa:
d x1d t=(mu-D) x1 d x2d t=(sf-x2) D-mu x1Y mu=mumax x2km+x2+k1(x2-k2)^2
em que x1 e x2 representam as concentrações de biomassa e de substrato, respectivamente, mu é a taxa específica de crescimento, D é a taxa de diluição, sf é a concentração de substrato na corrente de alimentação e Y é o rendimento do processo e mumax , km, k1 e k2 são parâmetros do modelo. Em todos os cálculos considere: Y=0,4 ; k1=0,04545 ; k2=0,05 ; D=0,202 ; mumax =0,48 ; km=1,2 e sf=20.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todas as condições de estado estacionário de um reator biológico. Isso quer dizer que a gente precisa descobrir os valores das concentrações de biomassa ( x1) e de substrato ( x2) quando o sistema está “parado”, ou seja, sem mudar com o tempo. Para resolver isso, vamos usar os balanços de massa fornecidos e aplicar um pouco de matemática. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como resolver sistemas de equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. No estado estacionário, as taxas de variação das concentrações com o tempo são zero. Então, vamos igualar as derivadas a zero:
dx1dt = 0 dx2dt = 0

Passo 3

Aplicando isso às equações fornecidas, temos:
(mu - D) x1 = 0 (1) (sf - x2) D - mu x1Y = 0 (2)

Passo 4

Vamos analisar a primeira equação (mu - D) x1 = 0. Isso pode ser verdade de duas maneiras:
  1. Caso 1: x1 = 0
  2. Caso 2: mu = D
Vamos explorar cada caso separadamente.

Passo 5

Caso 1: x1 = 0
Se a concentração de biomassa é zero, isso significa que não há crescimento celular no reator. Vamos colocar x1 = 0 na segunda equação:
(sf - x2) D - mu cdot 0Y = 0 (sf - x2) D = 0 sf - x2 = 0 x2 = sf
Então, nesse caso, a condição de estado estacionário é:
x1 = 0 e x2 = sf = 20

Passo 6

Caso 2: mu = D
Aqui, a taxa específica de crescimento iguala a taxa de diluição. Vamos usar isso para encontrar x2. Sabemos que:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para encontrar x2:
0.48 cdot x2 = 0.202 cdot (1.2 + x2 + 0.04545(x2 - 0.05)^2)
Multiplicando e rearranjando os termos:
0.48x2 = 0.2424 + 0.202x2 + 0.009181 cdot (x2 - 0.05)^2
Subtraindo 0.202x2 de ambos os lados:
0.278x2 = 0.2424 + 0.009181(x2 - 0.05)^2

Passo 8

Agora, vamos resolver para x2. Essa é uma equação quadrática complicada, então vamos rearranjar tudo para um lado:
0.009181(x2 - 0.05)^2 - 0.278x2 + 0.2424 = 0
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 1000 (aproximadamente) para eliminar os decimais:
9.181(x2 - 0.05)^2 - 278x2 + 242.4 = 0
Expandindo (x2 - 0.05)^2:
9.181(x2^2 - 0.1x2 + 0.0025) - 278x2 + 242.4 = 0 9.181x2^2 - 0.9181x2 + 0.0229525 - 278x2 + 242.4 = 0 9.181x2^2 - 278.9181x2 + 242.4229525 = 0

Passo 9

Agora, temos uma equação quadrática na forma:
9.181x2^2 - 278.9181x2 + 242.4229525 = 0
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
x2 = 278.9181 pm raiz(278.9181)^2 - 4 cdot 9.181 cdot 242.42295252 cdot 9.181
Calculando o discriminante:
De
Então,
x2 = 278.9181 pm raiz68980.4518.362 x2 = 278.9181 pm 262.56218.362
Isso nos dá duas soluções:
x2 = 278.9181 + 262.56218.362 approx 541.480118.362 approx 29.53
x2 = 278.9181 - 262.56218.362 approx 16.356118.362 approx 0.891

Passo 10

Agora que temos os valores de x2, vamos encontrar x1 usando a primeira equação (mu - D)x1 = 0. Como mu = D, podemos usar a segunda equação para encontrar x1:
(sf - x2) D - D x1Y = 0 x1 = (sf - x2) D YD x1 = Y (sf - x2)
Substituindo Y = 0.4:
  1. Para x2 approx 29.53:
x1 = 0.4 (20 - 29.53) = 0.4 times (-9.53) = -3.81
Esse valor negativo de biomassa não faz sentido fisicamente, então descartamos essa solução.
  1. Para x2 approx 0.891:
x1 = 0.4 (20 - 0.891) = 0.4 times 19.109 approx 7.644

Resposta

As condições de estado estacionário são:
  1. Solucão trivial:
    x1 = 0 e x2 = 20
  2. Solução biológica viável:
    x1 approx 7.644 e x2 approx 0.891

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