Determine TODAS as condições de estado estacionário do reator biológico descrito pelos seguintes balanços de massa:
em que
e
representam as concentrações de biomassa e de substrato, respectivamente,
é a taxa específica de crescimento,
é a taxa de diluição,
é a concentração de substrato na corrente de alimentação e
é o rendimento do processo e
e
são parâmetros do modelo. Em todos os cálculos considere:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar todas as condições de estado estacionário de um reator biológico. Isso quer dizer que a gente precisa descobrir os valores das concentrações de biomassa (
) e de substrato (
) quando o sistema está “parado”, ou seja, sem mudar com o tempo. Para resolver isso, vamos usar os balanços de massa fornecidos e aplicar um pouco de matemática. Vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais e como resolver sistemas de equações não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa estado estacionário. No estado estacionário, as taxas de variação das concentrações com o tempo são zero. Então, vamos igualar as derivadas a zero:
Passo 3
Aplicando isso às equações fornecidas, temos:
Passo 4
Vamos analisar a primeira equação
. Isso pode ser verdade de duas maneiras:
- Caso 1:
- Caso 2:
Vamos explorar cada caso separadamente.
Passo 5
Caso 1:
Se a concentração de biomassa é zero, isso significa que não há crescimento celular no reator. Vamos colocar
na segunda equação:
Então, nesse caso, a condição de estado estacionário é:
Passo 6
Caso 2:
Aqui, a taxa específica de crescimento iguala a taxa de diluição. Vamos usar isso para encontrar
. Sabemos que:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
Multiplicando e rearranjando os termos:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 8
Agora, vamos resolver para
. Essa é uma equação quadrática complicada, então vamos rearranjar tudo para um lado:
Para simplificar, podemos multiplicar todos os termos por 1000 (aproximadamente) para eliminar os decimais:
Expandindo
:
Passo 9
Agora, temos uma equação quadrática na forma:
Podemos usar a fórmula de Bhaskara para resolver:
Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Passo 10
Agora que temos os valores de
, vamos encontrar
usando a primeira equação
. Como
, podemos usar a segunda equação para encontrar
:
Substituindo
:
- Para
:
Esse valor negativo de biomassa não faz sentido fisicamente, então descartamos essa solução.
- Para
:
Resposta
As condições de estado estacionário são:
-
Solucão trivial:
-
Solução biológica viável: