Considere a região determinada pelos gráficos de
e
. Calcule as coordenadas do centroide dessa região.
Passo 1
O enunciado pede para calcular as coordenadas do centroide da região do plano limitada pelos gráficos das funções
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- As funções são
e . - A região é aquela limitada pelas curvas
e (ou seja, o conjunto de pontos entre as duas curvas onde elas se interceptam). - O que se pede: as coordenadas do centroide
dessa região.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção das curvas (esses pontos definem o intervalo de integração).
Resolvendo
(note que
exige
):
Fatorando
, obtemos
Da primeira vem
. Da segunda vem
. Logo as curvas se intersectam em
e
.
Precisamos saber qual função está acima da outra em
. Para
vale:
e
Combinando,
, então para
temos
. Portanto, no intervalo de interesse a função superior é
e a inferior é
.
Passo 3
Calcular a área
da região — isso será necessário para normalizar as coordenadas do centroide.
Ao usar fatias verticais, a área é
onde
e
. Substituindo:
Calcule termo a termo:
Logo
Passo 4
Calcular a coordenada
do centroide. Fórmula e ideia: dividimos a região em tiras verticais de largura
; a área de uma tira em
é
e o momento dessa tira em relação ao eixo
é
. Assim
Aplicando ao nosso caso:
Calcule as primitivas:
Avalie de
a
:
Como
, temos
Passo 5
Calcular a coordenada
do centroide. Fórmula e ideia: para uma tira vertical entre
e
a linha média vertical da tira está em
; o momento dessa tira em relação ao eixo
é
Portanto o momento total em relação ao eixo
é
e a coordenada
é
No nosso caso
e
, assim
Calcule as primitivas:
Avalie de
a
:
Então
Como
, obtemos
Passo 6
Conclusão e interpretação rápida: ambos os momentos (o que determina
e o que determina
) deram o mesmo valor numerador
e, dividindo pela área
, obtemos
Ótimo — o centroide fica no ponto
. Força aí na prova — você conseguiu chegar no resultado passo a passo!