Considere a região determinada pelos gráficos de f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{x}. Calcule as coordenadas do centroide dessa região.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as coordenadas do centroide da região do plano limitada pelos gráficos das funções f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • As funções são f(x)=x^{2} e g(x)=\sqrt{x}.
  • A região é aquela limitada pelas curvas y=f(x) e y=g(x) (ou seja, o conjunto de pontos entre as duas curvas onde elas se interceptam).
  • O que se pede: as coordenadas do centroide (\bar{x},\bar{y}) dessa região.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das curvas (esses pontos definem o intervalo de integração).
Resolvendo \,x^{2}=\sqrt{x}\, (note que \sqrt{x} exige x\ge0):
x^{2}=\sqrt{x}\quad\Longrightarrow\quad x^{2}-x^{1/2}=0
Fatorando \,x^{1/2}(x^{3/2}-1)=0, obtemos
x^{1/2}=0\quad\text{ou}\quad x^{3/2}=1.
Da primeira vem x=0. Da segunda vem x=1. Logo as curvas se intersectam em x=0 e x=1.
Precisamos saber qual função está acima da outra em 0<x<1. Para 0<x<1 vale:
\sqrt{x}=x^{1/2}>x\quad\text{(pois \(0<x<1\) implica \(x^{1/2}>x\))}
e
x>x^{2}\quad\text{(pois \(0<x<1\) implica \(1-x>0\) e então \(x(1-x)>0\))}.ã
Combinando, \sqrt{x}>x>x^{2}, então para 0<x<1 temos \sqrt{x}>x^{2}. Portanto, no intervalo de interesse a função superior é g(x)=\sqrt{x} e a inferior é f(x)=x^{2}.

Passo 3

Calcular a área A da região — isso será necessário para normalizar as coordenadas do centroide.
Ao usar fatias verticais, a área é
A=\int_{a}^{b}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx,
onde a=0 e b=1. Substituindo:
A=\int_{0}^{1}\bigl(\sqrt{x}-x^{2}\bigr)\,dx =\int_{0}^{1}\left(x^{1/2}-x^{2}\right)\,dx.
Calcule termo a termo:
\int_{0}^{1}x^{1/2}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}x^{3/2}\right]_{0}^{1}=\tfrac{2}{3}, \qquad \int_{0}^{1}x^{2}\,dx=\left[\tfrac{1}{3}x^{3}\right]_{0}^{1}=\tfrac{1}{3}.
Logo
A=\tfrac{2}{3}-\tfrac{1}{3}=\tfrac{1}{3}.

Passo 4

Calcular a coordenada \bar{x} do centroide. Fórmula e ideia: dividimos a região em tiras verticais de largura dx; a área de uma tira em x é dA=(g(x)-f(x))\,dx e o momento dessa tira em relação ao eixo y é x\,dA. Assim
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx.
Aplicando ao nosso caso:
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{0}^{1} x\bigl(x^{1/2}-x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{A}\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{3}\bigr)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int x^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}x^{5/2},\qquad \int x^{3}\,dx=\frac{1}{4}x^{4}.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x^{3/2}-x^{3}\bigr)\,dx=\left(\tfrac{2}{5}-\tfrac{1}{4}\right) =\frac{8-5}{20}=\frac{3}{20}.
Como A=\tfrac{1}{3}, temos
\bar{x}=\frac{1}{A}\cdot\frac{3}{20}=3\cdot\frac{3}{20}=\frac{9}{20}.

Passo 5

Calcular a coordenada \bar{y} do centroide. Fórmula e ideia: para uma tira vertical entre y=f(x) e y=g(x) a linha média vertical da tira está em y=\tfrac{f(x)+g(x)}{2}; o momento dessa tira em relação ao eixo x é
dM_{x}=y_{\text{centro da tira}}\cdot dA=\frac{f(x)+g(x)}{2}\bigl(g(x)-f(x)\bigr)\,dx =\frac{g(x)^{2}-f(x)^{2}}{2}\,dx.
Portanto o momento total em relação ao eixo x é
M_{x}=\int_{a}^{b}\frac{g(x)^{2}-f(x)^{2}}{2}\,dx,
e a coordenada \bar{y} é
\bar{y}=\frac{M_{x}}{A}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b}\frac{g(x)^{2}-f(x)^{2}}{2}\,dx.
No nosso caso g(x)=x^{1/2} e f(x)=x^{2}, assim
\bar{y}=\frac{1}{A}\int_{0}^{1}\frac{x-(x^{2})^{2}}{2}\,dx =\frac{1}{A}\int_{0}^{1}\frac{x-x^{4}}{2}\,dx =\frac{1}{2A}\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{4}\bigr)\,dx.
Calcule as primitivas:
\int x\,dx=\tfrac{1}{2}x^{2},\qquad \int x^{4}\,dx=\tfrac{1}{5}x^{5}.
Avalie de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\bigl(x-x^{4}\bigr)\,dx=\left(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{5}\right)=\frac{5-2}{10}=\frac{3}{10}.
Então
M_{x}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{10}=\frac{3}{20}.
Como A=\tfrac{1}{3}, obtemos
\bar{y}=\frac{M_{x}}{A}=3\cdot\frac{3}{20}=\frac{9}{20}.

Passo 6

Conclusão e interpretação rápida: ambos os momentos (o que determina \bar{x} e o que determina \bar{y}) deram o mesmo valor numerador \tfrac{3}{20} e, dividindo pela área \tfrac{1}{3}, obtemos
\bar{x}=\bar{y}=\frac{9}{20}.
Ótimo — o centroide fica no ponto \bigl(\tfrac{9}{20},\tfrac{9}{20}\bigr). Força aí na prova — você conseguiu chegar no resultado passo a passo!

Resposta

\displaystyle \left(\frac{9}{20},\frac{9}{20}\right)

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