Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo x :
y=\sqrt{5-x}, \quad 3 \leq x \leq 5

Passo 1

O enunciado dá a curva y=\sqrt{5-x} no intervalo 3\le x\le5 e pede a área exata da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo x.
Informações fornecidas:
  • A função: y=\sqrt{5-x}.
  • Intervalo de rotação: x\in[3,5].
  • Eixo de rotação: eixo x.
    A pergunta é: qual é a área da superfície gerada por essa rotação (valor exato)?

Passo 2

Fórmula padrão para área de superfície por rotação em torno do eixo x:
S = 2\pi \int_{a}^{b} y\,\mathrm{d}s,
onde \mathrm{d}s é o elemento de comprimento do arco. Para uma curva dada por y=y(x) com derivada y'(x) contínua, tem-se
\mathrm{d}s = \sqrt{1+(y')^2}\,dx.
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
S = 2\pi \int_{a}^{b} y(x)\sqrt{1+\bigl(y'(x)\bigr)^2}\,dx.
Explicando: y(x) é a distância radial ao eixo x (raio da rotação) e \sqrt{1+(y')^2}\,dx é o comprimento de um pequeno arco que, ao rodar, gera uma “tira” cuja área é aproximadamente 2\pi y\cdot\mathrm{d}s. Aqui a=3 e b=5.

Passo 3

Calcular a derivada y'(x). Escrevendo y=(5-x)^{1/2}, pela regra da cadeia:
y'(x)=\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}\cdot(-1)=-\frac{1}{2}(5-x)^{-1/2}.
Agora o quadrado da derivada:
\bigl(y'(x)\bigr)^2=\left(-\frac{1}{2}\right)^2(5-x)^{-1}=\frac{1}{4(5-x)}.

Passo 4

Calcular 1+(y')^2 e simplificar a expressão que entra sob a raiz:
1+\bigl(y'(x)\bigr)^2=1+\frac{1}{4(5-x)}=\frac{4(5-x)+1}{4(5-x)}=\frac{21-4x}{4(5-x)}.
Tomando a raiz quadrada:
\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{\frac{21-4x}{4(5-x)}}=\frac{\sqrt{21-4x}}{2\sqrt{5-x}}.

Passo 5

Formar o integrando y\sqrt{1+(y')^2}. Como y=\sqrt{5-x}, temos a cancelamento:
y\sqrt{1+(y')^2}=\sqrt{5-x}\cdot\frac{\sqrt{21-4x}}{2\sqrt{5-x}}=\frac{\sqrt{21-4x}}{2}.
Logo a integral da área fica
S=2\pi\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{21-4x}}{2}\,dx=\pi\int_{3}^{5}\sqrt{21-4x}\,dx.

Passo 6

Resolver a integral \displaystyle \pi\int_{3}^{5}\sqrt{21-4x}\,dx por substituição. Faça
u=21-4x\quad\Rightarrow\quad du=-4\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=-\frac{du}{4}.
Troca dos limites: quando x=3 temos u=21-4\cdot3=9. Quando x=5 temos u=21-4\cdot5=1. Assim
S=\pi\int_{x=3}^{x=5}\sqrt{21-4x}\,dx=\pi\int_{u=9}^{u=1}\sqrt{u}\left(-\frac{du}{4}\right) =\frac{\pi}{4}\int_{u=1}^{u=9}\sqrt{u}\,du.

Passo 7

Calcular a integral de u^{1/2}:
\int u^{1/2}\,du=\frac{2}{3}u^{3/2}.
Aplicando nos limites:
S=\frac{\pi}{4}\cdot\left[\frac{2}{3}u^{3/2}\right]_{1}^{9}=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{3}\left(9^{3/2}-1^{3/2}\right) =\frac{\pi}{6}\left(27-1\right)=\frac{\pi}{6}\cdot26=\frac{13\pi}{3}.
Verificação rápida: dentro do intervalo 3\le x\le5 a expressão sob a raiz 21-4x é positiva (vai de 9 até 1), então a integral está bem definida e a fórmula de superfície se aplica (a função é diferenciável em (3,5) e contínua no intervalo fechado, com y\ge0).

Resposta

\displaystyle \frac{13\pi}{3}

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