Calcule a área exata da superfície obtida pela rotação da curva em torno do eixo
:
Passo 1
O enunciado dá a curva
no intervalo
e pede a área exata da superfície obtida pela rotação dessa curva em torno do eixo
.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função:
. - Intervalo de rotação:
. - Eixo de rotação: eixo
.
A pergunta é: qual é a área da superfície gerada por essa rotação (valor exato)?
Passo 2
Fórmula padrão para área de superfície por rotação em torno do eixo
:
onde
é o elemento de comprimento do arco. Para uma curva dada por
com derivada
contínua, tem-se
Portanto a fórmula prática que vamos usar é
Explicando:
é a distância radial ao eixo
(raio da rotação) e
é o comprimento de um pequeno arco que, ao rodar, gera uma “tira” cuja área é aproximadamente
. Aqui
e
.
Passo 3
Calcular a derivada
. Escrevendo
, pela regra da cadeia:
Agora o quadrado da derivada:
Passo 4
Calcular
e simplificar a expressão que entra sob a raiz:
Tomando a raiz quadrada:
Passo 5
Formar o integrando
. Como
, temos a cancelamento:
Logo a integral da área fica
Passo 6
Resolver a integral
por substituição. Faça
Troca dos limites: quando
temos
. Quando
temos
. Assim
Passo 7
Calcular a integral de
:
Aplicando nos limites:
Verificação rápida: dentro do intervalo
a expressão sob a raiz
é positiva (vai de
até
), então a integral está bem definida e a fórmula de superfície se aplica (a função é diferenciável em
e contínua no intervalo fechado, com
).