Sejam f(x)=2-x^{2} e g(x)=x.
a) Encontre os pontos onde os gráficos de f(x) e g(x) se interceptam.
b) Calcule a área da região compreendida pelos gráficos de f(x) e g(x).
c) Encontre as coordenadas do centroide da região descrita no item anterior.

Passo 1

O enunciado fornece as duas funções
f(x)=2-x^{2}
e
g(x)=x.
As perguntas são:
  • (a) Encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g.
  • (b) Calcular a área da região limitada pelos gráficos de f e g.
  • (c) Encontrar as coordenadas do centroide (baricentro) dessa região.
Informações importantes dadas: as duas expressões das funções acima. Nada mais é fornecido externamente.

Passo 2

Determinar os pontos de interseção: são os x tais que f(x)=g(x). Então resolvemos a equação
2-x^{2}=x.
Rearranjando, obtemos a equação quadrática
x^{2}+x-2=0.
Vamos fatorar: procuramos dois números cuja soma seja 1 e produto -2. Esses números são 2 e -1, então
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
As raízes são x=-2 e x=1. Para cada x a ordenada comum é y=g(x)=x. Portanto os pontos de interseção são
(-2,-2)\quad\text{e}\quad(1,1).

Passo 3

Calcular a área da região limitada entre os dois gráficos. Regra prática (explicação): ao considerarmos uma fatia vertical em x de espessura dx, a altura dessa fatia é \text{(função superior)}-\text{(função inferior)}çãçã. Integrando essa altura ao longo do intervalo de interseção obtemos a área:
\text{Área}=\int_{a}^{b}\big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx,Á
onde a e b são os valores de x de interseção.
Precisamos saber qual função é a superior em [-2,1]. Tomando x=0 como teste:
f(0)=2-0^{2}=2,\qquad g(0)=0,
logo f(x) é a superior e g(x) a inferior no intervalo. Assim
\text{Área}=\int_{-2}^{1}\big(f(x)-g(x)\big)\,dx =\int_{-2}^{1}\big(2-x^{2}-x\big)\,dx.Á
Calculemos a integral passo a passo. Uma primitiva é
\int\big(2-x^{2}-x\big)\,dx=2x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}+C.
Avaliar de -2 a 1:
\left(2x-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(2\cdot1-\frac{1^{3}}{3}-\frac{1^{2}}{2}\right) -\left(2\cdot(-2)-\frac{(-2)^{3}}{3}-\frac{(-2)^{2}}{2}\right).
Calcule cada parte:
2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{12-2-3}{6}=\frac{7}{6},
-4-\frac{-8}{3}-2=-6+\frac{8}{3}=\frac{-18+8}{3}=-\frac{10}{3}.
Subtraindo:
\frac{7}{6}-\left(-\frac{10}{3}\right)=\frac{7}{6}+\frac{10}{3}=\frac{7}{6}+\frac{20}{6}=\frac{27}{6}=\frac{9}{2}.
Portanto a área da região é \dfrac{9}{2}.

Passo 4

Encontrar o centroide (\bar{x},\bar{y}) da região. Vou explicar as fórmulas antes de aplicar:
  • Fórmula para a coordenada x-do-centroide: considere fatias verticais; a massa (ou área) da fatia em x é dA=(\text{top}-\text{bottom})\,dx. O primeiro momento em relação ao eixo y é x\,dA. Integrando e dividindo pela área total A
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{a}^{b} x\big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx.
  • Fórmula para a coordenada y-do-centroide: o momento em relação ao eixo x para uma fatia vertical é a área da fatia multiplicada pela sua altura média; isso resulta na fórmula
\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b}\big(\text{top}(x)^{2}-\text{bottom}(x)^{2}\big)\,dx.
Essas fórmulas derivam do cálculo de momentos usando integração por fatias; a explicação intuitiva é que para \bar{x} somamos x vezes cada pequena área e dividimos pela área total; para \bar{y} usamos que a coordenada média vertical da fatia é \tfrac{1}{2}(\text{top}+\text{bottom}), o que ao integrar leva à forma com diferenças de quadrados.
Aqui \text{top}=f(x)=2-x^{2}, \text{bottom}=g(x)=x, a=-2, b=1 e A=\dfrac{9}{2}.
Calcule \bar{x}:
\bar{x}=\frac{1}{A}\int_{-2}^{1} x\big(f(x)-g(x)\big)\,dx =\frac{1}{\tfrac{9}{2}}\int_{-2}^{1} x\big(2-x^{2}-x\big)\,dx.
Expandir o integrando:
x\big(2-x^{2}-x\big)=2x-x^{3}-x^{2}.
Uma primitiva é
\int(2x-x^{3}-x^{2})\,dx=x^{2}-\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}+C.
Avaliar de -2 a 1:
\left(x^{2}-\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{3}}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}\right) -\left(4-\frac{16}{4}-\frac{-8}{3}\right).
Calcule cada parte:
1-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}=\frac{12-3-4}{12}=\frac{5}{12},
4-\frac{16}{4}-\left(-\frac{8}{3}\right)=4-4+\frac{8}{3}=\frac{8}{3}.
Subtraindo:
\frac{5}{12}-\frac{8}{3}=\frac{5}{12}-\frac{32}{12}=-\frac{27}{12}=-\frac{9}{4}.
Então
\bar{x}=\frac{1}{\tfrac{9}{2}}\left(-\frac{9}{4}\right)=\frac{2}{9}\left(-\frac{9}{4}\right)=-\frac{1}{2}.
Calcule \bar{y}:
\bar{y}=\frac{1}{2A}\int_{-2}^{1}\big(f(x)^{2}-g(x)^{2}\big)\,dx =\frac{1}{2\cdot\tfrac{9}{2}}\int_{-2}^{1}\big((2-x^{2})^{2}-x^{2}\big)\,dx.
Observe 2A=2\cdot\dfrac{9}{2}=9, então
\bar{y}=\frac{1}{9}\int_{-2}^{1}\big((2-x^{2})^{2}-x^{2}\big)\,dx.
Expandir:
(2-x^{2})^{2}-x^{2}=4-4x^{2}+x^{4}-x^{2}=4-5x^{2}+x^{4}.
Uma primitiva é
\int(4-5x^{2}+x^{4})\,dx=4x-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+C.
Avaliar de -2 a 1:
\left(4x-\frac{5x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(4-\frac{5}{3}+\frac{1}{5}\right) -\left(-8-\frac{5(-8)}{3}+\frac{-32}{5}\right).
Calcule cada parte cuidadosamente:
4-\frac{5}{3}+\frac{1}{5}=\frac{60-25+3}{15}=\frac{38}{15},
-8-\left(-\frac{40}{3}\right)-\frac{32}{5}=-8+\frac{40}{3}-\frac{32}{5}.
Colocando em denominador 15:
-8+\frac{40}{3}-\frac{32}{5}=-\frac{120}{15}+\frac{200}{15}-\frac{96}{15}=-\frac{16}{15}.
Subtraindo:
\frac{38}{15}-\left(-\frac{16}{15}\right)=\frac{54}{15}=\frac{18}{5}.
Então
\bar{y}=\frac{1}{9}\cdot\frac{18}{5}=\frac{2}{5}.
Intuição final: o centroide está deslocado para a esquerda ( \bar{x}=-\tfrac{1}{2}) porque a região é mais “larga” para x<0, e sua altura média é \bar{y}=\tfrac{2}{5}.

Resposta

(a) (-2,-2) e (1,1)
(b) \dfrac{9}{2}
(c) \displaystyle\bar{x}=-\frac{1}{2},\\ \bar{y}=\frac{2}{5}

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