Sejam f(x)=2-x^{2} e g(x)=x.
a) Encontre os pontos onde os gráficos de f(x) e g(x) se interceptam.
b) Calcule a área da região compreendida pelos gráficos de f(x) e g(x).
c) Encontre as coordenadas do centroide da região descrita no item anterior.
Passo 1
O enunciado fornece as duas funções
f(x)=2-x^{2}
e
g(x)=x.
As perguntas são:
(a) Encontrar os pontos de interseção dos gráficos de f e g.
(b) Calcular a área da região limitada pelos gráficos de f e g.
(c) Encontrar as coordenadas do centroide (baricentro) dessa região.
Informações importantes dadas: as duas expressões das funções acima. Nada mais é fornecido externamente.
Passo 2
Determinar os pontos de interseção: são os x tais que f(x)=g(x). Então resolvemos a equação
2-x^{2}=x.
Rearranjando, obtemos a equação quadrática
x^{2}+x-2=0.
Vamos fatorar: procuramos dois números cuja soma seja 1 e produto -2. Esses números são 2 e -1, então
x^{2}+x-2=(x+2)(x-1).
As raízes são x=-2 e x=1. Para cada x a ordenada comum é y=g(x)=x. Portanto os pontos de interseção são
(-2,-2)\quad\text{e}\quad(1,1).
Passo 3
Calcular a área da região limitada entre os dois gráficos. Regra prática (explicação): ao considerarmos uma fatia vertical em x de espessura dx, a altura dessa fatia é \text{(função superior)}-\text{(função inferior)}. Integrando essa altura ao longo do intervalo de interseção obtemos a área:
Encontrar o centroide (\bar{x},\bar{y}) da região. Vou explicar as fórmulas antes de aplicar:
Fórmula para a coordenada x-do-centroide: considere fatias verticais; a massa (ou área) da fatia em x é dA=(\text{top}-\text{bottom})\,dx. O primeiro momento em relação ao eixo y é x\,dA. Integrando e dividindo pela área total A dá
Fórmula para a coordenada y-do-centroide: o momento em relação ao eixo x para uma fatia vertical é a área da fatia multiplicada pela sua altura média; isso resulta na fórmula
Essas fórmulas derivam do cálculo de momentos usando integração por fatias; a explicação intuitiva é que para \bar{x} somamos x vezes cada pequena área e dividimos pela área total; para \bar{y} usamos que a coordenada média vertical da fatia é \tfrac{1}{2}(\text{top}+\text{bottom}), o que ao integrar leva à forma com diferenças de quadrados.
Aqui \text{top}=f(x)=2-x^{2}, \text{bottom}=g(x)=x, a=-2, b=1 e A=\dfrac{9}{2}.
Intuição final: o centroide está deslocado para a esquerda (\bar{x}=-\tfrac{1}{2}) porque a região é mais “larga” para x<0, e sua altura média é \bar{y}=\tfrac{2}{5}.
Resposta
(a) (-2,-2) e (1,1)
(b) \dfrac{9}{2}
(c) \displaystyle\bar{x}=-\frac{1}{2},\\ \bar{y}=\frac{2}{5}