Considere uma região do espaço onde o potencial elétrico, medido em volts, é dado pela expressão
sendo
e
, coordenadas cartesianas medidas em metros. Determine o vetor campo elétrico no ponto
. Resposta:
.
Passo 1
O enunciado nos dá a expressão do potencial elétrico (em volts) como função das coordenadas (em metros):
O ponto onde devemos avaliar o campo elétrico é
.
A pergunta é: determinar o vetor campo elétrico no ponto indicado.
A pergunta é: determinar o vetor campo elétrico no ponto indicado.
Passo 2
Relação que vamos usar (explicação didática): o campo elétrico é dado pelo negativo do gradiente do potencial. Isso significa que para um potencial
em coordenadas cartesianas:
O que isso quer dizer na prática:
-
é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de em relação a e a . - O sinal negativo aparece porque o campo aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente.
Passo 3
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui
é tratado como constante. Aplicando regras básicas de derivação:
- a derivada de
em relação a é ; - a derivada de
em relação a é (porque é uma constante multiplicando ).
Portanto:
Passo 4
Calcular a derivada parcial de
em relação a
. Aqui
é tratado como constante.
- a derivada de
em relação a é (não depende de ); - a derivada de
em relação a é .
Logo:
Passo 5
Montar o campo elétrico em forma geral, usando
. Substituindo as derivadas parciais:
Simplificando os sinais:
Passo 6
Avaliar as componentes em
e
. Calcular passo a passo:
- componente
:
- componente
:
As componentes têm unidade de volts por metro (V/m).
Passo 7
Interpretação rápida e incentivo: o campo no ponto aponta no sentido do vetor com componentes
na direção
e
na direção
. A magnitude desse vetor é
se quiser checar. Bom trabalho — já está dominando o cálculo do campo a partir do potencial!