Considere uma região do espaço onde o potencial elétrico, medido em volts, é dado pela expressão
V(x, y)=x^{2}-3 x y,
sendo x e y, coordenadas cartesianas medidas em metros. Determine o vetor campo elétrico no ponto (x=1 \mathrm{~m}, y=2 \mathrm{~m}). Resposta: \mathbf{E}=4 \hat{\imath}+3 \hat{\jmath}.

Passo 1

O enunciado nos dá a expressão do potencial elétrico (em volts) como função das coordenadas (em metros):
V(x,y)=x^{2}-3xy.
O ponto onde devemos avaliar o campo elétrico é (x=1\\ \text{m},\\ y=2\\ \text{m}).
A pergunta é: determinar o vetor campo elétrico no ponto indicado.

Passo 2

Relação que vamos usar (explicação didática): o campo elétrico é dado pelo negativo do gradiente do potencial. Isso significa que para um potencial V(x,y) em coordenadas cartesianas:
\mathbf{E} = -\nabla V = -\left(\frac{\partial V}{\partial x}\,\hat{\imath} + \frac{\partial V}{\partial y}\,\hat{\jmath}\right).
O que isso quer dizer na prática:
  • \nabla V é um vetor cujas componentes são as derivadas parciais de V em relação a x e a y.
  • O sinal negativo aparece porque o campo aponta na direção em que o potencial diminui mais rapidamente.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de V em relação a x. Aqui y é tratado como constante. Aplicando regras básicas de derivação:
  • a derivada de x^{2} em relação a x é 2x;
  • a derivada de -3xy em relação a x é -3y (porque -3y é uma constante multiplicando x).
    Portanto:
\frac{\partial V}{\partial x} = 2x - 3y.

Passo 4

Calcular a derivada parcial de V em relação a y. Aqui x é tratado como constante.
  • a derivada de x^{2} em relação a y é 0 (não depende de y);
  • a derivada de -3xy em relação a y é -3x.
    Logo:
\frac{\partial V}{\partial y} = -3x.

Passo 5

Montar o campo elétrico em forma geral, usando \mathbf{E} = -\nabla V. Substituindo as derivadas parciais:
\mathbf{E}(x,y) = -\left(2x-3y\right)\hat{\imath} -\left(-3x\right)\hat{\jmath}.
Simplificando os sinais:
\mathbf{E}(x,y)=(-2x+3y)\hat{\imath} + (3x)\hat{\jmath}.

Passo 6

Avaliar as componentes em x=1 e y=2. Calcular passo a passo:
  • componente x:
E_x = -2x+3y = -2\cdot 1 + 3\cdot 2 = -2 + 6 = 4.
  • componente y:
E_y = 3x = 3\cdot 1 = 3.
As componentes têm unidade de volts por metro (V/m).

Passo 7

Interpretação rápida e incentivo: o campo no ponto aponta no sentido do vetor com componentes 4 na direção x e 3 na direção y. A magnitude desse vetor é \sqrt{4^{2}+3^{2}}=5\\ \text{V/m} se quiser checar. Bom trabalho — já está dominando o cálculo do campo a partir do potencial!

Resposta

\mathbf{E}=4\hat{\imath}+3\hat{\jmath}

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