(*) Um par de cargas puntiformes
e
estão separadas por uma distância
. Mostre que a superfície equipotencial
é uma esfera. Determine (a) o raio e (b) as coordenadas do centro da esfera. Resposta: (a)
; (b)
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
- Há duas cargas puntiformes: uma de
e outra de . - As duas cargas estão separadas por uma distância
. - Pede para mostrar que a superfície equipotencial
é uma esfera. - Pede, especificamente:
(a) determinar o raio da esfera;
(b) determinar as coordenadas do centro da esfera.
Passo 2
Escolha de sistema de coordenadas (padrão para este tipo de problema). Colocar as cargas sobre o eixo
facilita as contas e não altera a generalidade da solução. Vou posicionar as cargas assim (escolha conveniente):
- a carga
em (origem); - a carga
em (no eixo , à direita, a distância da origem).
Explicação rápida do porquê: podemos escolher a origem e orientar o eixo entre as cargas; isso simplifica as expressões de distância sem perder generalidade.
Passo 3
Fórmula do potencial eletrostático de cargas puntuais e princípio de superposição.
- O potencial devido a uma carga puntiforme
localizada em é, em um ponto ,
onde
é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui).
- Pelo princípio da superposição, o potencial total é a soma dos potenciais das cargas individuais. Para as duas cargas do enunciado:
Passo 4
Condição
e simplificação imediata.
- Impondo
e dividindo por (que é diferente de zero) obtemos
- Isolando razões:
Interpretação: a superfície procurada é o conjunto de pontos cuja distância a
é metade da distância a
. Esse conjunto é uma esfera (caso em 3D de uma razão constante entre distâncias a dois pontos distintos) — a chamada esfera de Apollonius. A seguir fazemos a prova algébrica e extraímos centro e raio.
Passo 5
Passar para coordenadas cartesianas e escrever as distâncias ao quadrado.
Seja um ponto genérico
. Com
e
temos:
Da relação
elevamos ao quadrado para evitar raízes:
Passo 6
Expandir e reorganizar a equação para obter a forma canônica de uma esfera.
Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo
:
Agrupando termos semelhantes e passando tudo para o lado esquerdo:
Simplificando:
Dividindo por
para facilitar:
Passo 7
Completar o quadrado em
para reconhecer a equação de uma esfera.
- Escrevendo o termo em
como quadrado perfeito:
- Substituindo na equação:
- Calcular o termo constante resultante:
- Portanto a equação fica
Passo 8
Identificar centro e raio da esfera e concluir.
- A equação encontrada tem a forma padrão de uma esfera:
- Comparando, o centro é
e o raio é
Isso mostra explicitamente que a superfície equipotencial
é uma esfera com o centro e raio acima.
Resposta
Centro: