(*) Um par de cargas puntiformes +2 q e -q estão separadas por uma distância d. Mostre que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera. Determine (a) o raio e (b) as coordenadas do centro da esfera. Resposta: (a) R=2 d / 3; (b) (4 \mathrm{~d} / 3,0,0).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Há duas cargas puntiformes: uma de +2q e outra de -q.
  • As duas cargas estão separadas por uma distância d.
  • Pede para mostrar que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera.
  • Pede, especificamente:
    (a) determinar o raio da esfera;
    (b) determinar as coordenadas do centro da esfera.

Passo 2

Escolha de sistema de coordenadas (padrão para este tipo de problema). Colocar as cargas sobre o eixo x facilita as contas e não altera a generalidade da solução. Vou posicionar as cargas assim (escolha conveniente):
  • a carga +2q em \mathbf{r}_1=(0,0,0) (origem);
  • a carga -q em \mathbf{r}_2=(d,0,0) (no eixo x, à direita, a distância d da origem).
Explicação rápida do porquê: podemos escolher a origem e orientar o eixo entre as cargas; isso simplifica as expressões de distância sem perder generalidade.

Passo 3

Fórmula do potencial eletrostático de cargas puntuais e princípio de superposição.
  • O potencial devido a uma carga puntiforme Q localizada em \mathbf{r}_0 é, em um ponto \mathbf{r},
V(\mathbf{r}) = k\,\frac{Q}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_0\rvert},
onde k é a constante eletrostática (não precisamos do seu valor numérico aqui).
  • Pelo princípio da superposição, o potencial total é a soma dos potenciais das cargas individuais. Para as duas cargas do enunciado:
V(\mathbf{r}) = k\frac{2q}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert} + k\frac{-q}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert}.

Passo 4

Condição V=0 e simplificação imediata.
  • Impondo V(\mathbf{r})=0 e dividindo por kq (que é diferente de zero) obtemos
\frac{2}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert} - \frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert}=0.
  • Isolando razões:
\frac{2}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert} = \frac{1}{\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert} \quad\Longrightarrow\quad \lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert = \tfrac{1}{2}\,\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert.
Interpretação: a superfície procurada é o conjunto de pontos cuja distância a \mathbf{r}_2 é metade da distância a \mathbf{r}_1. Esse conjunto é uma esfera (caso em 3D de uma razão constante entre distâncias a dois pontos distintos) — a chamada esfera de Apollonius. A seguir fazemos a prova algébrica e extraímos centro e raio.

Passo 5

Passar para coordenadas cartesianas e escrever as distâncias ao quadrado.
Seja um ponto genérico \mathbf{r}=(x,y,z). Com \mathbf{r}_1=(0,0,0) e \mathbf{r}_2=(d,0,0) temos:
\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert^2 = x^2+y^2+z^2,
\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert^2 = (x-d)^2+y^2+z^2.
Da relação \lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_2\rvert = \tfrac{1}{2}\lvert \mathbf{r}-\mathbf{r}_1\rvert elevamos ao quadrado para evitar raízes:
(x-d)^2+y^2+z^2 = \tfrac{1}{4}\bigl(x^2+y^2+z^2\bigr).

Passo 6

Expandir e reorganizar a equação para obter a forma canônica de uma esfera.
Multiplicando ambos os lados por 4:
4(x-d)^2+4(y^2+z^2) = x^2+y^2+z^2.
Expandindo 4(x-d)^2:
4(x^2-2dx+d^2)+4y^2+4z^2 = x^2+y^2+z^2.
Agrupando termos semelhantes e passando tudo para o lado esquerdo:
4x^2-8dx+4d^2+4y^2+4z^2 - x^2 - y^2 - z^2 = 0.
Simplificando:
3x^2 -8d x +4d^2 +3y^2 +3z^2 = 0.
Dividindo por 3 para facilitar:
x^2 - \frac{8}{3}d\,x + \frac{4}{3}d^2 + y^2 + z^2 = 0.

Passo 7

Completar o quadrado em x para reconhecer a equação de uma esfera.
  • Escrevendo o termo em x como quadrado perfeito:
x^2 - \frac{8}{3}d\,x = \left(x-\frac{4}{3}d\right)^2 - \left(\frac{4}{3}d\right)^2.
  • Substituindo na equação:
\left(x-\frac{4}{3}d\right)^2 - \left(\frac{4}{3}d\right)^2 + \frac{4}{3}d^2 + y^2 + z^2 = 0.
  • Calcular o termo constante resultante:
- \left(\frac{4}{3}d\right)^2 + \frac{4}{3}d^2 = -\frac{16}{9}d^2 + \frac{12}{9}d^2 = -\frac{4}{9}d^2.
  • Portanto a equação fica
\left(x-\frac{4}{3}d\right)^2 + y^2 + z^2 = \frac{4}{9}d^2.

Passo 8

Identificar centro e raio da esfera e concluir.
  • A equação encontrada tem a forma padrão de uma esfera:
\left(x-x_0\right)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = R^2.
  • Comparando, o centro é \left(\dfrac{4}{3}d,0,0\right) e o raio é
R=\sqrt{\frac{4}{9}d^2}=\frac{2}{3}d.
Isso mostra explicitamente que a superfície equipotencial V=0 é uma esfera com o centro e raio acima.

Resposta

R=\dfrac{2d}{3}
Centro: \left(\dfrac{4d}{3},0,0\right)

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