Considere a regiảo plana R delimitada pela parábola de equação y=x^2-4 e a reta de equação y=-2 x-1.
Escreva (sem calcularl) a integral dupla integral duplaR f(x, y) d A como integral dupla iterada nas ordens d x d y e d y d x.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo integral dupla. O problema pede para escrever a integral dupla sobre uma região delimitada por uma parábola e uma reta, nas duas ordens de integração: e . Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para cada ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos duas curvas:
  • A parábola:
  • A reta:
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam para saber até onde vão nossos limites de integração.

Passo 3

Para achar os pontos de interseção, igualamos as equações das duas curvas:
x^2 - 4 = -2x - 1
Resolvendo essa equação quadrática:
x^2 + 2x - 3 = 0
Fatorando:
(x + 3)(x - 1) = 0
Então, e .

Passo 4

Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos e . Vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar a região . A parábola está voltada para cima e a reta corta a parábola de esquerda para a direita.

Passo 5

Vamos escrever a integral dupla na ordem y = x^2 - 4 Rightarrow x = pm raizy + 4 primeiro. Nessa ordem, para cada valor de y = -2x - 1 Rightarrow x = -y + 12 , varia entre a curva da direita e a curva da esquerda.
Precisamos expressar em função de para ambas as curvas.
Para a parábola:
Para a reta:
Como a reta está mais à direita na região , os limites de vão de até .
Os limites de vão de a , que são os valores mínimos e máximos de na região .

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral dupla na ordem . Nessa ordem, para cada valor de , varia entre a parte de baixo e a parte de cima da região .
As curvas já estão na forma , então podemos identificar facilmente os limites de .
Para cada entre e :
  • O limite inferior de é dado pela parábola:
  • O limite superior de é dado pela reta:

Resposta

A integral dupla integral-3^1 ( integralx^2 - 4^-2x - 1 f(x, y) , dy ) dx pode ser escrita como:
integral-3^1 ( integral-raizy + 4^-y + 12 f(x, y) , dx ) dy
e como:

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