Considere a regiảo plana
delimitada pela parábola de equação
e a reta de equação
.
Escreva (sem calcularl) a integral dupla
como integral dupla iterada nas ordens
e
.
Escreva (sem calcularl) a integral dupla
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo integral dupla. O problema pede para escrever a integral dupla sobre uma região
delimitada por uma parábola e uma reta, nas duas ordens de integração:
e
. Para isso, vamos precisar entender como identificar os limites de integração para cada ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Temos duas curvas:
- A parábola:
- A reta:
Vamos encontrar os pontos onde essas duas curvas se intersectam para saber até onde vão nossos limites de integração.
Passo 3
Para achar os pontos de interseção, igualamos as equações das duas curvas:
Resolvendo essa equação quadrática:
Fatorando:
Então,
e
.
Passo 4
Agora sabemos que as curvas se interceptam nos pontos
e
. Vamos desenhar um gráfico rápido para visualizar a região
. A parábola está voltada para cima e a reta corta a parábola de esquerda para a direita.
Passo 5
Vamos escrever a integral dupla na ordem
primeiro. Nessa ordem, para cada valor de
,
varia entre a curva da direita e a curva da esquerda.
Precisamos expressar
em função de
para ambas as curvas.
Para a parábola:
Para a reta:
Como a reta está mais à direita na região
, os limites de
vão de
até
.
Os limites de
vão de
a
, que são os valores mínimos e máximos de
na região
.
Passo 6
Agora, vamos escrever a integral dupla na ordem
. Nessa ordem, para cada valor de
,
varia entre a parte de baixo e a parte de cima da região
.
As curvas já estão na forma
, então podemos identificar facilmente os limites de
.
Para cada
entre
e
:
- O limite inferior de
é dado pela parábola: - O limite superior de
é dado pela reta:
Resposta
A integral dupla
pode ser escrita como:
e como: