U(x, t)=sumn=1^infty cn e^-n^2 pi^2 a^2 t / L^2 sen(n pi x / L)
Seja uma barra de comprimento L=1 e condutividade a=10, com a temperatura inicial dada por
f(x)=-14 sen(pi x)+11 sen(2 pi x)+92 sen(10 pi x)
encontre a temperatura da barra U(x, t). justificando sua resposta.
Passo 1
O exercício trata da equação do calor unidimensional com condutividade a em uma barra de comprimento L, sujeita a condições de fronteira U(0,t)=0 e U(L,t)=0, e condição inicial U(x,0)=f(x). O enunciado já dá a solução geral em série de senos e fornece L=1, a=10 e
f(x)=-14,sin(pi x)+11,sin(2pi x)+92,sin(10pi x)
Passo 2
Sabemos que a solução geral é
U(x,t)=sumn=1^inftycn,e^-n^2pi^2a^2t/L^2,sinl(npi x/Lr),
e que os coeficientes cn vêm da expansão de Fourier de f(x). Como f(x) já está em série de senos, basta ler os coeficientes: c1=-14, c2=11, c10=92 e cn=0 para outros n.