(2,0 pts) Considere o seguinte problema de contorno:
l ll a^2 Ux x=Ut 0 <= x <= L & -y^prime prime=3 U(0, t)=0 & t >= 0 y^prime prime=-3 & U(1, t)=0 U(x, 0)=f(x) & y^prime=5
Cuja solução é dada por:
U(x, t)=sumn=1^infty cn e^-n^2 pi^2 a^2 t / L^2 sen(n pi x / L)
Seja uma barra de comprimento L=1 e condutividade a=10, com a temperatura inicial dada por
f(x)=-14 sen(pi x)+11 sen(2 pi x)+92 sen(10 pi x)
encontre a temperatura da barra U(x, t). justificando sua resposta.

Passo 1

O exercício trata da equação do calor unidimensional com condutividade a em uma barra de comprimento L, sujeita a condições de fronteira U(0,t)=0 e U(L,t)=0, e condição inicial U(x,0)=f(x). O enunciado já dá a solução geral em série de senos e fornece L=1, a=10 e
f(x)=-14,sin(pi x)+11,sin(2pi x)+92,sin(10pi x)

Passo 2

Sabemos que a solução geral é
U(x,t)=sumn=1^inftycn,e^-n^2pi^2a^2t/L^2,sinl(npi x/Lr),
e que os coeficientes cn vêm da expansão de Fourier de f(x). Como f(x) já está em série de senos, basta ler os coeficientes: c1=-14, c2=11, c10=92 e cn=0 para outros n.

Passo 3

Substituindo L=1 e a=10 no expoente, temos
$$e{-n2\pi2a2t/L2}=e{-n2\pi2\cdot102t}=e{-100,n2\pi2,t}.
$$

Passo 4

Finalmente, montamos a solução juntando só os termos não nulos:
U(x,t)=-14,e^-100pi^2t,sin(pi x)+11,e^-400pi^2t,sin(2pi x)+92,e^-10000pi^2t,sin(10pi x)

Resposta

U(x,t)=-14,e^-100pi^2tsin(pi x)+11,e^-400pi^2tsin(2pi x)+92,e^-10000pi^2tsin(10pi x)

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