Considere a região R delimitada pelas curvas y=x^{3} e y=2 x, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta y=2-x.
(a) Determine o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno do eixo x.
(b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região R é revolucionada em torno da reta x=-1.

Passo 1

O enunciado define a região \displaystyle R=\{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x^{3}\le y\le2x,\;y\le2-x\}
no primeiro quadrante e pede:
(a) o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo x, usando discos/cavidades;
(b) apenas escrever as integrais que dão o volume quando se gira R em torno da reta x=-1, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Precisamos achar os valores de x onde as fronteiras mudam de papel.
  1. x^{3}=2x \implies x(x^{2}-2)=0 x=0 e x=\sqrt{2}, mas como estamos abaixo de y=2-x só interessa a parte que fica até x=1.
  2. 2x=2-x \implies3x=2 \implies x=\tfrac{2}{3}.
  3. x^{3}=2-x \implies x^{3}+x-2=0, raiz real em x=1.
    Logo, para 0\le x\le\tfrac23 a fronteira superior de R é y=2x; para \tfrac23\le x\le1 a fronteira superior é y=2-x. Em ambos os trechos a fronteira inferior é y=x^{3}.

Passo 3

(a) Método dos discos: em cada x o “raio exterior” é a curva superior e o “raio interior” é a inferior.
V \;=\;\pi\int_{0}^{\tfrac23}\Bigl[(2x)^{2}-(x^{3})^{2}\Bigr]\,dx \;+\;\pi\int_{\tfrac23}^{1}\Bigl[(2-x)^{2}-(x^{3})^{2}\Bigr]\,dx.
Agora basta calcular:
\int_{0}^{\tfrac23}\bigl(4x^{2}-x^{6}\bigr)dx =\Bigl[\tfrac{4x^{3}}{3}-\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{0}^{\tfrac23} =\frac{5920}{15309},
\int_{\tfrac23}^{1}\bigl(4-4x+x^{2}-x^{6}\bigr)dx =\Bigl[4x-2x^{2}+\tfrac{x^{3}}{3}-\tfrac{x^{7}}{7}\Bigr]_{\tfrac23}^{1} =\frac{4934}{15309}.
Somando e multiplicando por \pi obtemos
V =\pi\;\frac{5920+4934}{15309} =\pi\;\frac{10854}{15309} =\frac{134\pi}{189}.

Passo 4

(b) Método das cascas cilíndricas: para cada x\in[0,1]\) a altura da casca é \[h(x)=\begin{cases} 2x - x^{3},&0\le x\le\tfrac23,\\\ (2-x)-x^{3},&\tfrac23\le x\le1, \end{cases}
e o raio da casca até a reta x=-1\] é \(r(x)=x-(-1)=x+1. As integrais que dão o volume são
V =2\pi\int_{0}^{\tfrac23}(x+1)\bigl(2x - x^{3}\bigr)\,dx \;+\; 2\pi\int_{\tfrac23}^{1}(x+1)\bigl((2-x) - x^{3}\bigr)\,dx.

Resposta

(a) \displaystyle V=\frac{134\pi}{189}.
(b) \displaystyle V=2\pi\int_{0}^{\tfrac23}(x+1)(2x - x^{3})\,dx\;+\;2\pi\int_{\tfrac23}^{1}(x+1)\bigl((2-x)-x^{3}\bigr)\,dx.

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