Considere a região
delimitada pelas curvas
e
, que está situada no primeiro quadrante e abaixo da reta
.
(a) Determine o volume do sólido obtido quando a região
é revolucionada em torno do eixo
.
(b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
é revolucionada em torno da reta
.
(a) Determine o volume do sólido obtido quando a região
(b) Escreva as integrais que permitem calcular o volume do sólido obtido quando a região
Passo 1
O enunciado define a região
no primeiro quadrante e pede:
(a) o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
, usando discos/cavidades;
(b) apenas escrever as integrais que dão o volume quando se gira em torno da reta
, usando o método das cascas cilíndricas.
no primeiro quadrante e pede:
(a) o volume do sólido obtido ao girar
(b) apenas escrever as integrais que dão o volume quando se gira
Passo 2
Precisamos achar os valores de
onde as fronteiras mudam de papel.
-
dá e , mas como estamos abaixo de só interessa a parte que fica até . -
-
, raiz real em .
Logo, paraa fronteira superior de é ; para a fronteira superior é . Em ambos os trechos a fronteira inferior é .
Passo 3
(a) Método dos discos: em cada
o “raio exterior” é a curva superior e o “raio interior” é a inferior.
Agora basta calcular:
Somando e multiplicando por
obtemos
Passo 4
(b) Método das cascas cilíndricas: para cada
e o raio da casca até a reta
. As integrais que dão o volume são
Resposta
(a)
(b)
(b)