Encontre o limite. Use a Regra de l’Hôspital quando for apropriado. Se a Regra de l’Hôspital não se aplicar, explique o porquê.
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-2 x^{2}+1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x - 1}.
Vamos estudar o tipo de indeterminação e, sendo apropriado, usar a Regra de l’Hôpital para calcular esse limite.

Passo 2

Avaliaremos numerador e denominador em x=1:
1^3 - 2\cdot1^2 + 1 = 0 \quad\text{e}\quad 1 - 1 = 0,
portanto há forma indeterminada 0/0. Como ambas as funções do numerador e denominador são diferenciáveis num entorno de x=1 e a derivada do denominador em 1 não é zero, a Regra de l’Hôpital vale aqui.

Passo 3

Aplicando a Regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\bigl(x^3 - 2x^2 + 1\bigr) = 3x^2 - 4x, \quad \frac{d}{dx}(x - 1) = 1.
Logo
\lim_{x\to1}\frac{x^3 - 2x^2 + 1}{x - 1} = \lim_{x\to1}\frac{3x^2 - 4x}{1}.

Passo 4

Basta agora substituir x=1 no numerador:
3\cdot1^2 - 4\cdot1 = 3 - 4 = -1.

Resposta

-1

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