Considere uma região sob a ação de um campo magnético uniforme
\overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B_{0} \hat{\boldsymbol{x}}, \quad B_{0}>0
Uma partícula carregada, de carga q, tem velocidade no instante t=0, e está na origem do sistema de coordenadas.
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}=v_{0} \sin \alpha \hat{\boldsymbol{x}}+v_{0} \cos \alpha \hat{\boldsymbol{y}}, \quad v_{0}>0 \quad \text { e } \quad 0 \leq \alpha \leq \frac{\pi}{2} .
Suponha movimento não-relativístico.
(a) Encontre a força (vetor) de Lorentz que atua nessa partícula no instante t=0.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Campo magnético: \overrightarrow{\boldsymbol{B}}=B_{0}\,\hat{\boldsymbol{x}} com B_{0}>0.
  • Velocidade inicial da partícula (no instante t=0) e posição inicial: a partícula está na origem e \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}=v_{0}\sin\alpha\,\hat{\boldsymbol{x}}+v_{0}\cos\alpha\,\hat{\boldsymbol{y}},com v_{0}>0 e 0\le\alpha\le\frac{\pi}{2}.
  • Carga da partícula: q (pode ser positiva ou negativa; o enunciado não especifica).
  • Movimento não-relativístico.
O enunciado pede:
  • (a) Encontrar a força (vetor) de Lorentz que atua na partícula no instante t=0.

Passo 2

Fórmula fundamental e explicação do que cada símbolo significa:
  • A força de Lorentz (quando não há campo elétrico) é dada por \overrightarrow{\boldsymbol{F}}=q\,\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}.Aqui:
    • \overrightarrow{\boldsymbol{F}} é a força sobre a partícula;
    • q é a carga da partícula;
    • \overrightarrow{\boldsymbol{v}} é a velocidade da partícula (no instante considerado);
    • \overrightarrow{\boldsymbol{B}} é o campo magnético;
    • \times é o produto vetorial (cross product): ele produz um vetor perpendicular aos vetores que multiplicamos, com direção dada pela regra da mão direita e magnitude igual a |\overrightarrow{\boldsymbol{v}}||\overrightarrow{\boldsymbol{B}}|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \overrightarrow{\boldsymbol{v}} e \overrightarrow{\boldsymbol{B}}.
Observação útil para este problema: qualquer componente da velocidade paralela ao campo magnético não produz força magnética. Só as componentes de \overrightarrow{\boldsymbol{v}} perpendiculares a \overrightarrow{\boldsymbol{B}} geram força.

Passo 3

Escrever as componentes da velocidade no instante t=0:
\begin{aligned} v_x &= v_{0}\sin\alpha,\\\ v_y &= v_{0}\cos\alpha,\\\ v_z &= 0. \end{aligned}
O campo tem apenas componente x:
B_x = B_0,\qquad B_y=0,\qquad B_z=0.

Passo 4

Calcular o produto vetorial \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}. Usando a expansão em determinante (ou fórmula componente a componente):
\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{x}} & \hat{\boldsymbol{y}} & \hat{\boldsymbol{z}}\\[4pt] v_x & v_y & v_z\\[4pt] B_x & B_y & B_z \end{vmatrix}.
Substituindo os valores:
\begin{aligned} \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} &= \hat{\boldsymbol{x}}(v_y B_z - v_z B_y) - \hat{\boldsymbol{y}}(v_x B_z - v_z B_x) + \hat{\boldsymbol{z}}(v_x B_y - v_y B_x)\\[4pt] &= \hat{\boldsymbol{x}}(v_{0}\cos\alpha\cdot 0 - 0\cdot 0) - \hat{\boldsymbol{y}}(v_{0}\sin\alpha\cdot 0 - 0\cdot B_0)\\[4pt] &\qquad+ \hat{\boldsymbol{z}}(v_{0}\sin\alpha\cdot 0 - v_{0}\cos\alpha\cdot B_0)\\[4pt] &= \hat{\boldsymbol{x}}(0)-\hat{\boldsymbol{y}}(0)+\hat{\boldsymbol{z}}(-v_{0}\cos\alpha\,B_0)\\[4pt] &= -v_{0}B_0\cos\alpha\;\hat{\boldsymbol{z}}. \end{aligned}
Interpretação rápida: a componente v_x (paralela a \overrightarrow{\boldsymbol{B}}) não produz força; a componente v_y gera força na direção \pm\hat{\boldsymbol{z}} dependendo do sinal de q. O cálculo mostra que \overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}} aponta em -\hat{\boldsymbol{z}} (ou seja, sentido negativo de z).]

Passo 5

Multiplicando pelo fator q da definição da força de Lorentz:
\overrightarrow{\boldsymbol{F}}(t=0)=q\bigl(\overrightarrow{\boldsymbol{v}}_{0}\times\overrightarrow{\boldsymbol{B}}\bigr) = -q\,v_{0}B_{0}\cos\alpha\;\hat{\boldsymbol{z}}.
Comentário prático: se q>0 a força aponta para -\hat{\boldsymbol{z}}; se q<0 a força aponta para +\hat{\boldsymbol{z}}. A magnitude é |\overrightarrow{\boldsymbol{F}}|=|q|\,v_{0}B_{0}\cos\alpha.

Resposta

-q\,v_{0}B_{0}\cos\alpha\;\hat{\boldsymbol{z}}

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