A corda mais pesada e a corda mais leve de certo violino têm massas específicas lineares de 3,0 e 0,30 \mathrm{~g} / \mathrm{m}, respectivamente. (a) Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais pesada e o da corda mais leve, supondo que as cordas são feitas do mesmo material? (b) Qual deve ser a razão entre as tensões na corda para que as ondas se propagando nelas tenham a mesma velocidade?

Passo 1

O enunciado nos dá duas cordas de um violino com massas lineares (massa por unidade de comprimento) diferentes e pede duas coisas. Informações dadas:
  • Massa linear da corda mais pesada: \mu_{\text{pesada}}=3{,}0\\ \mathrm{g/m}.
  • Massa linear da corda mais leve: \mu_{\text{leve}}=0{,}30\\ \mathrm{g/m}.
Perguntas:
(a) Qual é a razão entre os diâmetros da corda mais pesada e da corda mais leve, supondo que ambas são feitas do mesmo material?
(b) Qual deve ser a razão entre as tensões nas duas cordas para que as ondas que se propagam nelas tenham a mesma velocidade?

Passo 2

Entendimento físico e fórmulas úteis (a parte didática): massa linear e área da seção transversal.
  • Para um fio homogêneo feito do mesmo material, a massa linear \mu é dada por
\mu=\rho A,
onde \rho é a densidade do material (massa por volume) e A é a área da seção transversal da corda.
  • Se a corda for cilíndrica, a área da seção transversal em função do diâmetro d é
A=\pi\left(\frac{d}{2}\right)^{2}=\frac{\pi d^{2}}{4}.
Explicando as variáveis: \mu tem unidades de massa por comprimento ( \mathrm{g/m} ou \mathrm{kg/m}), \rho tem unidades de massa por volume ( \mathrm{g/cm^{3}} ou \mathrm{kg/m^{3}}), A tem unidades de área ( \mathrm{m^{2}}) e d tem unidades de comprimento ( \mathrm{m}).

Passo 3

Relacionando massa linear e diâmetro (aulas práticas):
Substituindo A em \mu=\rho A,
\mu=\rho\frac{\pi d^{2}}{4}.
Como as duas cordas são do mesmo material, \rho é o mesmo para as duas, então ao formar a razão das massas lineares:
\frac{\mu_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{leve}}}=\frac{\rho\frac{\pi d_{\text{pesada}}^{2}}{4}}{\rho\frac{\pi d_{\text{leve}}^{2}}{4}}=\frac{d_{\text{pesada}}^{2}}{d_{\text{leve}}^{2}}.
Portanto
\left(\frac{d_{\text{pesada}}}{d_{\text{leve}}}\right)^{2}=\frac{\mu_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{leve}}}.

Passo 4

Cálculo da razão de diâmetros (parte prática, sem complicar):
Usando os valores fornecidos (as unidades são as mesmas, \mathrm{g/m}, então a razão é adimensional):
\frac{\mu_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{leve}}}=\frac{3{,}0}{0{,}30}=10.
Tomando raiz quadrada para obter a razão dos diâmetros:
\frac{d_{\text{pesada}}}{d_{\text{leve}}}=\sqrt{10}\approx3{,}1623\approx3{,}16.
Interpretação prática: a corda mais pesada precisa ter diâmetro cerca de 3{,}16 vezes o da corda leve se forem do mesmo material.

Passo 5

Agora a parte das tensões — teoria necessária:
  • A velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde v é a velocidade da onda, T é a tensão na corda (força em newtons) e \mu é a massa linear ( \mathrm{kg/m} ou \mathrm{g/m} — na razão não é necessário converter se usar a mesma unidade nas duas cordas).
  • Explicando: quanto maior a tensão, maior a velocidade; quanto maior a massa por comprimento, menor a velocidade.

Passo 6

Condição para as duas cordas terem a mesma velocidade:
Queremos v_{\text{pesada}}=v_{\text{leve}}. Usando a fórmula da velocidade:
\sqrt{\frac{T_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{pesada}}}}=\sqrt{\frac{T_{\text{leve}}}{\mu_{\text{leve}}}}.
Elevando ambos os lados ao quadrado:
\frac{T_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{pesada}}}=\frac{T_{\text{leve}}}{\mu_{\text{leve}}}.
Isolando a razão das tensões:
\frac{T_{\text{pesada}}}{T_{\text{leve}}}=\frac{\mu_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{leve}}}.

Passo 7

Cálculo numérico da razão das tensões:
Já calculamos em Passo 4 que
\frac{\mu_{\text{pesada}}}{\mu_{\text{leve}}}=10.
Logo
\frac{T_{\text{pesada}}}{T_{\text{leve}}}=10.
Interpretação: para que as ondas tenham a mesma velocidade, a tensão na corda mais pesada deve ser 10 vezes a tensão na corda mais leve.

Resposta

(a) \dfrac{d_{\text{pesada}}}{d_{\text{leve}}}=\sqrt{10}\approx3{,}16
(b) \dfrac{T_{\text{pesada}}}{T_{\text{leve}}}=10

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