A corda mais pesada e a corda mais leve de certo violino têm massas específicas lineares de 3,0 e
, respectivamente. (a) Qual é a razão entre o diâmetro da corda mais pesada e o da corda mais leve, supondo que as cordas são feitas do mesmo material? (b) Qual deve ser a razão entre as tensões na corda para que as ondas se propagando nelas tenham a mesma velocidade?
Passo 1
O enunciado nos dá duas cordas de um violino com massas lineares (massa por unidade de comprimento) diferentes e pede duas coisas. Informações dadas:
- Massa linear da corda mais pesada:
. - Massa linear da corda mais leve:
.
Perguntas:
(a) Qual é a razão entre os diâmetros da corda mais pesada e da corda mais leve, supondo que ambas são feitas do mesmo material?
(b) Qual deve ser a razão entre as tensões nas duas cordas para que as ondas que se propagam nelas tenham a mesma velocidade?
(a) Qual é a razão entre os diâmetros da corda mais pesada e da corda mais leve, supondo que ambas são feitas do mesmo material?
(b) Qual deve ser a razão entre as tensões nas duas cordas para que as ondas que se propagam nelas tenham a mesma velocidade?
Passo 2
Entendimento físico e fórmulas úteis (a parte didática): massa linear e área da seção transversal.
- Para um fio homogêneo feito do mesmo material, a massa linear
é dada por
onde
é a densidade do material (massa por volume) e
é a área da seção transversal da corda.
- Se a corda for cilíndrica, a área da seção transversal em função do diâmetro
é
Explicando as variáveis:
tem unidades de massa por comprimento (
ou
),
tem unidades de massa por volume (
ou
),
tem unidades de área (
) e
tem unidades de comprimento (
).
Passo 3
Relacionando massa linear e diâmetro (aulas práticas):
Substituindo em
,
Substituindo
Como as duas cordas são do mesmo material,
é o mesmo para as duas, então ao formar a razão das massas lineares:
Portanto
Passo 4
Cálculo da razão de diâmetros (parte prática, sem complicar):
Usando os valores fornecidos (as unidades são as mesmas, , então a razão é adimensional):
Usando os valores fornecidos (as unidades são as mesmas,
Tomando raiz quadrada para obter a razão dos diâmetros:
Interpretação prática: a corda mais pesada precisa ter diâmetro cerca de
vezes o da corda leve se forem do mesmo material.
Passo 5
Agora a parte das tensões — teoria necessária:
- A velocidade de propagação de ondas transversais numa corda tensa é dada por
onde
é a velocidade da onda,
é a tensão na corda (força em newtons) e
é a massa linear (
ou
— na razão não é necessário converter se usar a mesma unidade nas duas cordas).
- Explicando: quanto maior a tensão, maior a velocidade; quanto maior a massa por comprimento, menor a velocidade.
Passo 6
Condição para as duas cordas terem a mesma velocidade:
Queremos . Usando a fórmula da velocidade:
Queremos
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Isolando a razão das tensões:
Passo 7
Cálculo numérico da razão das tensões:
Já calculamos em Passo 4 que
Já calculamos em Passo 4 que
Logo
Interpretação: para que as ondas tenham a mesma velocidade, a tensão na corda mais pesada deve ser 10 vezes a tensão na corda mais leve.
Resposta
(a)
(b)
(b)