Use a solução da equação de Laplace para encontrar o potencial dentro e fora de uma esfera oca de raio R , com uma densidade de carga superficial,
, uniforme. OBS: Explique detalhadamente todos os passos da sua solução.
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede-se o potencial elétrico dentro e fora de uma esfera oca (casca esférica) de raio
que tem densidade de carga superficial uniforme . - Informação dada: a casca é fina (toda a carga está na superfície
), e a densidade superficial é constante . - Vou tomar o meio ao redor como vácuo, com permissividade
. - Convencionalmente escolho a referência de potencial
(potencial nulo no infinito), a menos que o enunciado peça outra coisa.
As perguntas concretas são:
- Encontrar
para (dentro da casca) e para (fora da casca).
Passo 2
Equação que governa o problema e redução pela simetria
- Em qualquer região do espaço sem carga volumétrica local, o potencial satisfaz a equação de Laplace:
- Por simetria esférica (densidade superficial uniforme), o potencial depende só da distância radial
ao centro: . - A forma radial da laplaciana para uma função radial
é
- Portanto, em cada região sem carga (dentro da casca,
, e fora, ) vale a equação ordinária:
Explicação didática curta: essa fórmula vem da expressão geral da laplaciana em coordenadas esféricas quando não há dependência angular; é a forma correta para problemas com simetria esférica.
Passo 3
Integração da equação radial de Laplace — solução geral
Parto da equação do passo anterior:
Integro uma vez em
:
onde
é constante de integração (pode ser diferente nas duas regiões). Divido por
e integro de novo:
onde
é outra constante de integração. Assim, a solução geral em qualquer região sem carga é
onde escrevemos
no lugar de
para ficar na forma mais comum. Observação: os valores das constantes
e
podem ser distintos para a região interior (
) e para a exterior (
).
Passo 4
Comportamentos físicos que fixam algumas constantes
- Dentro (
): o potencial deve ser finito em . A forma diverge quando a menos que o coeficiente seja zero. Logo, na região interna a constante associada ao termo deve ser zero. Portanto é constante:
com
constante.
- Fora (
): como escolhemos , o termo constante na solução externa deve ser zero; caso contrário o potencial não tenderia a zero no infinito. Assim a solução externa tem somente o termo :
onde
é constante a determinar.
Essas condições vêm de exigências físicas: finitude no centro e referência no infinito.
Passo 5
Condições de contorno na superfície carregada
Há duas condições que ligam as soluções interna e externa em
:
- Continuidade do potencial: o potencial
é contínuo atravessando uma folha de carga infinitesimalmente fina. Portanto
- Descontinuidade da derivada radial (campo elétrico normal) devido à carga superficial: pela Lei de Gauss aplicada a um “pílula” atravessando a superfície,
onde
é o versor normal externo e
é a permissividade do vácuo. Como o campo elétrico radial é
e aqui
, obtemos
Simplificando,
Explicação didática: a condição de salto do campo normal diz, em palavras, que a diferença do componente normal do campo elétrico atravessando a superfície é exatamente a densidade superficial de carga dividida por
. Passar de
para
traz um sinal negativo, daí a forma da condição em termos de derivadas de
.
Passo 6
Aplicação das condições às formas obtidas
Recordando as formas:
Agora aplico a condição de salto das derivadas em
:
Portanto
Em seguida aplico a continuidade do potencial em
:
Substituindo
obtido,
Passo 7
Interpretação física alternativa (opcional, útil para conferir resultado)
- A carga total na casca é
. Substituindo nessa expressão para ,
- Logo a solução externa escrita em termos de
é a forma familiar:
e o potencial interno constante é
Isto confirma que externamente a casca se comporta como uma carga puntiforme
no centro, e internamente o potencial é constante (mesmo campo nulo), resultado clássico.
Passo 8
Resumo verbo-matemático final dos resultados (preparando a resposta)
- Dentro da casca (
) o potencial é constante e igual a (ou ). - Fora da casca (
) o potencial tem a forma coulombiana (ou ). - O campo elétrico, por derivação, é nulo para
e igual a para (apenas comentário de verificação).