Use a solução da equação de Laplace para encontrar o potencial dentro e fora de uma esfera oca de raio R , com uma densidade de carga superficial, \sigma_{0}, uniforme. OBS: Explique detalhadamente todos os passos da sua solução.

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se o potencial elétrico dentro e fora de uma esfera oca (casca esférica) de raio R que tem densidade de carga superficial uniforme \sigma_{0}.
  • Informação dada: a casca é fina (toda a carga está na superfície r=R), e a densidade superficial é constante \sigma_{0}.
  • Vou tomar o meio ao redor como vácuo, com permissividade \epsilon_{0}.
  • Convencionalmente escolho a referência de potencial V(\infty)=0 (potencial nulo no infinito), a menos que o enunciado peça outra coisa.
As perguntas concretas são:
  • Encontrar V(r) para 0\le r<R (dentro da casca) e para r>R (fora da casca).

Passo 2

Equação que governa o problema e redução pela simetria
  • Em qualquer região do espaço sem carga volumétrica local, o potencial satisfaz a equação de Laplace:
\nabla^{2}V=0.
  • Por simetria esférica (densidade superficial uniforme), o potencial depende só da distância radial r ao centro: V=V(r).
  • A forma radial da laplaciana para uma função radial V(r) é
\nabla^{2}V=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right).
  • Portanto, em cada região sem carga (dentro da casca, 0<r<R, e fora, r>R) vale a equação ordinária:
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=0.
Explicação didática curta: essa fórmula vem da expressão geral da laplaciana em coordenadas esféricas quando não há dependência angular; é a forma correta para problemas com simetria esférica.

Passo 3

Integração da equação radial de Laplace — solução geral
Parto da equação do passo anterior:
\frac{d}{dr}\!\left(r^{2}\frac{dV}{dr}\right)=0.
Integro uma vez em r:
r^{2}\frac{dV}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é constante de integração (pode ser diferente nas duas regiões). Divido por r^{2} e integro de novo:
\frac{dV}{dr}=\frac{C_{1}}{r^{2}} \quad\Longrightarrow\quad V(r)= -\frac{C_{1}}{r}+C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração. Assim, a solução geral em qualquer região sem carga é
V(r)=C_{2}+\frac{C}{r},
onde escrevemos C no lugar de -C_{1} para ficar na forma mais comum. Observação: os valores das constantes C e C_{2} podem ser distintos para a região interior ( r<R) e para a exterior ( r>R).

Passo 4

Comportamentos físicos que fixam algumas constantes
  • Dentro ( r<R): o potencial V(r) deve ser finito em r=0. A forma C/r diverge quando r\to0 a menos que o coeficiente C seja zero. Logo, na região interna a constante associada ao termo 1/r deve ser zero. Portanto V_{\text{in}}(r) é constante:
V_{\text{in}}(r)=A_{\text{in}}\qquad(0\le r<R),
com A_{\text{in}} constante.
  • Fora ( r>R): como escolhemos V(\infty)=0, o termo constante C_{2} na solução externa deve ser zero; caso contrário o potencial não tenderia a zero no infinito. Assim a solução externa tem somente o termo 1/r:
V_{\text{out}}(r)=\frac{B}{r}\qquad(r>R),
onde B é constante a determinar.
Essas condições vêm de exigências físicas: finitude no centro e referência no infinito.

Passo 5

Condições de contorno na superfície carregada r=R
Há duas condições que ligam as soluções interna e externa em r=R:
  1. Continuidade do potencial: o potencial V(r) é contínuo atravessando uma folha de carga infinitesimalmente fina. Portanto
V_{\text{in}}(R)=V_{\text{out}}(R).
  1. Descontinuidade da derivada radial (campo elétrico normal) devido à carga superficial: pela Lei de Gauss aplicada a um “pílula” atravessando a superfície,
\hat{n}\cdot(\mathbf{E}_{\text{out}}-\mathbf{E}_{\text{in}})=\frac{\sigma_{0}}{\epsilon_{0}},
onde \hat{n} é o versor normal externo e \epsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Como o campo elétrico radial é \mathbf{E}=-\nabla V e aqui \nabla V=\dfrac{dV}{dr}\hat{r}, obtemos
E_{r,\text{out}}-E_{r,\text{in}}=\frac{\sigma_{0}}{\epsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad \big(-V_{\text{out}}'(R)\big)-\big(-V_{\text{in}}'(R)\big)=\frac{\sigma_{0}}{\epsilon_{0}}.
Simplificando,
V_{\text{in}}'(R)-V_{\text{out}}'(R)=\frac{\sigma_{0}}{\epsilon_{0}}.
Explicação didática: a condição de salto do campo normal diz, em palavras, que a diferença do componente normal do campo elétrico atravessando a superfície é exatamente a densidade superficial de carga dividida por \epsilon_{0}. Passar de E para V traz um sinal negativo, daí a forma da condição em termos de derivadas de V.

Passo 6

Aplicação das condições às formas obtidas
Recordando as formas:
V_{\text{in}}(r)=A_{\text{in}}\quad\Rightarrow\quad V_{\text{in}}'(r)=0,
V_{\text{out}}(r)=\frac{B}{r}\quad\Rightarrow\quad V_{\text{out}}'(r)=-\frac{B}{r^{2}}.
Agora aplico a condição de salto das derivadas em r=R:
V_{\text{in}}'(R)-V_{\text{out}}'(R)=0 -\left(-\frac{B}{R^{2}}\right)=\frac{B}{R^{2}}=\frac{\sigma_{0}}{\epsilon_{0}}.
Portanto
B=\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}}.
Em seguida aplico a continuidade do potencial em r=R:
V_{\text{in}}(R)=A_{\text{in}}=V_{\text{out}}(R)=\frac{B}{R}.
Substituindo B obtido,
A_{\text{in}}=\frac{1}{R}\cdot\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma_{0}R}{\epsilon_{0}}.

Passo 7

Interpretação física alternativa (opcional, útil para conferir resultado)
  • A carga total na casca é Q=4\pi R^{2}\sigma_{0}. Substituindo nessa expressão para B,
B=\frac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}.
  • Logo a solução externa escrita em termos de Q é a forma familiar:
V_{\text{out}}(r)=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}}\cdot\frac{1}{r},
e o potencial interno constante é
V_{\text{in}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R}.
Isto confirma que externamente a casca se comporta como uma carga puntiforme Q no centro, e internamente o potencial é constante (mesmo campo nulo), resultado clássico.

Passo 8

Resumo verbo-matemático final dos resultados (preparando a resposta)
  • Dentro da casca ( 0\le r<R) o potencial é constante e igual a \dfrac{\sigma_{0}R}{\epsilon_{0}} (ou \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}R}).
  • Fora da casca ( r>R) o potencial tem a forma coulombiana \dfrac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}r} (ou \dfrac{Q}{4\pi\epsilon_{0}r}).
  • O campo elétrico, por derivação, é nulo para r<R e igual a \dfrac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\dfrac{Q}{r^{2}}\hat r para r>R (apenas comentário de verificação).

Resposta

V(r)=\dfrac{\sigma_{0}R}{\epsilon_{0}}\quad\text{para }0\le r<R
V(r)=\dfrac{\sigma_{0}R^{2}}{\epsilon_{0}r}\quad\text{para }r>R

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