Considere a relação que satisfaz as seguintes condições:
a_{1}=\frac{1}{2} \quad \text { e } \quad \sum_{i=1}^{n} a_{i}=n^{2} a_{n}, \quad \forall n \geq 2
(i) Calcule: a_{2}, a_{3} e a_{4}.
(ii) Deduzir a partir de (i) o termo geral a_{n} em função de n.
(iii) Prove, por indução em n, a fórmula obtida no item (ii).

Passo 1

O enunciado define uma sequência \{a_n\} com
a_{1} = \frac12 \quad\text{e}\quad \sum_{i=1}^{n}a_{i} = n^{2}\,a_{n}\quad(\forall n\ge2).
Pede-se (i) calcular a_{2},a_{3},a_{4}, (ii) conjecturar o termo geral a_{n} e (iii) provar por indução a fórmula obtida. Usaremos somatórios, resolução de equações lineares e indução matemática.

Passo 2

Para n=2 vale
a_{1}+a_{2}=2^{2}a_{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac12 + a_{2} = 4a_{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac12 = 3a_{2} \quad\Longrightarrow\quad a_{2} = \frac16.

Passo 3

Para n=3 temos
a_{1}+a_{2}+a_{3}=3^{2}a_{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac12 + \frac16 + a_{3} = 9a_{3} \quad\Longrightarrow\quad \frac23 = 8a_{3} \quad\Longrightarrow\quad a_{3} = \frac1{12}.

Passo 4

Para n=4 escrevemos
a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=4^{2}a_{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac12 + \frac16 + \frac1{12} + a_{4} = 16a_{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac34 = 15a_{4} \quad\Longrightarrow\quad a_{4} = \frac1{20}.

Passo 5

Os valores encontrados são
a_{1}=\frac1{1\cdot2},\; a_{2}=\frac1{2\cdot3},\; a_{3}=\frac1{3\cdot4},\; a_{4}=\frac1{4\cdot5}.
Isso sugere o padrão
a_{n} = \frac1{n(n+1)}.

Passo 6

Prova por indução em n:
Base n=1: \displaystyle a_{1} = \tfrac12 = \tfrac1{1\cdot2}.
Passo indutivo: suponha \displaystyle a_{k} = \tfrac1{k(k+1)}.
Pela condição
\sum_{i=1}^{k+1}a_{i}=(k+1)^{2}a_{k+1},
e sabendo que \sum_{i=1}^{k}a_{i}=k^{2}a_{k}, segue
k^{2}a_{k}+a_{k+1}=(k+1)^{2}a_{k+1} \quad\Longrightarrow\quad k^{2}a_{k}=\bigl((k+1)^{2}-1\bigr)a_{k+1}=k(k+2)\,a_{k+1}
\Longrightarrow\quad a_{k+1} =\frac{k^{2}}{k(k+2)}\,a_{k} =\frac{k}{k+2}\cdot\frac1{k(k+1)} =\frac1{(k+1)(k+2)}.
Assim, por indução, \displaystyle a_{n}=\frac1{n(n+1)} para todo n\ge1.

Resposta

a_{2}=\tfrac16,\quad a_{3}=\tfrac1{12},\quad a_{4}=\tfrac1{20},\quad a_{n}=\tfrac1{n(n+1)}.

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