Considere a relação que satisfaz as seguintes condições:
(i) Calcule:
e
.
(ii) Deduzir a partir de (i) o termo geral
em função de
.
(iii) Prove, por indução em
, a fórmula obtida no item (ii).
(ii) Deduzir a partir de (i) o termo geral
(iii) Prove, por indução em
Passo 1
O enunciado define uma sequência
com
Pede-se (i) calcular
, (ii) conjecturar o termo geral
e (iii) provar por indução a fórmula obtida. Usaremos somatórios, resolução de equações lineares e indução matemática.
Passo 2
Para
vale
Passo 3
Para
temos
Passo 4
Para
escrevemos
Passo 5
Os valores encontrados são
Isso sugere o padrão
Passo 6
Prova por indução em
:
Base
:
.
Passo indutivo: suponha
.
Pela condição
Pela condição
e sabendo que
, segue
Assim, por indução,
para todo
.