Considere a relação definida recursivamente por p_{1}=q_{1}=1, e
p_{n+1}=p_{n}^{2}+2 q_{n}^{2} \quad, \quad q_{n+1}=2 p_{n} q_{n}, \quad \text { para } n \geq 1
Prove, usando indução em n, que: p_{n}^{2}-2 q_{n}^{2}=1, para n \geq 2.

Passo 1

O enunciado define duas sequências (p_n) e (q_n) por
p_{1}=q_{1}=1, \quad p_{n+1}=p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}, \quad q_{n+1}=2p_{n}q_{n},
e pede para provar, por indução em n\ge2, que
p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}=1.
O método será Indução Matemática.

Passo 2

(Caso base.) Para n=2 calculamos primeiro
p_{2}=p_{1}^{2}+2q_{1}^{2}=1+2=3, \quad q_{2}=2p_{1}q_{1}=2\cdot1\cdot1=2.
Então
p_{2}^{2}-2q_{2}^{2}=3^{2}-2\cdot2^{2}=9-8=1,
logo a propriedade vale para n=2.

Passo 3

(Passo indutivo.) Suponha que para algum n\ge2 valha a hipótese
p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}=1.
Queremos mostrar que
p_{n+1}^{2}-2q_{n+1}^{2}=1.
Usando a definição recursiva,
p_{n+1}^{2}-2q_{n+1}^{2} =\bigl(p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}\bigr)^{2} -2\bigl(2p_{n}q_{n}\bigr)^{2}.
Expandindo,
\bigl(p_{n}^{2}+2q_{n}^{2}\bigr)^{2} =p_{n}^{4}+4p_{n}^{2}q_{n}^{2}+4q_{n}^{4},
2\bigl(2p_{n}q_{n}\bigr)^{2} =2\cdot4p_{n}^{2}q_{n}^{2}=8p_{n}^{2}q_{n}^{2}.
Assim
p_{n+1}^{2}-2q_{n+1}^{2} =p_{n}^{4}+4p_{n}^{2}q_{n}^{2}+4q_{n}^{4} -8p_{n}^{2}q_{n}^{2} =p_{n}^{4}-4p_{n}^{2}q_{n}^{2}+4q_{n}^{4} =\bigl(p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}\bigr)^{2}.
Pela hipótese indutiva \bigl(p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}\bigr)=1, segue
p_{n+1}^{2}-2q_{n+1}^{2}=1^{2}=1.
Isso completa o passo indutivo.

Resposta

Concluímos por indução que, para todo n\ge2, vale
p_{n}^{2}-2q_{n}^{2}=1.

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