Considere uma represa com 200 ft de altura e 1.200 ft de largura cheia até a capacidade máxima. Determine a força hidrostática na barragem.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pediu. Temos uma represa que tem 200 pés de altura e 1.200 pés de largura quando está cheia até a capacidade máxima. O que precisamos descobrir é qual é a força hidrostática que age na barragem. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estática de fluidos, especificamente a pressão da água e como ela gera força sobre superfícies verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular a pressão que a água exerce na barragem. A pressão hidrostática em um ponto a uma profundidade $ y $ é dada por:
y
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água (vamos considerar $ 62.4 , lb/ft^3 $ para água doce),
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 32.2 , ft/s^2 $),
  • $ y $ é a profundidade abaixo da superfície da água.

Passo 3

Agora, para encontrar a força total sobre a barragem, precisamos integrar essa pressão ao longo da altura da barragem. A força hidrostática $ F $ é dada por:
F
Onde:
  • $ H $ é a altura da represa (200 pés),
  • $ w $ é a largura da represa (1.200 pés).
Substituindo $ P(y) $ na equação:
F = integral0^H P(y) cdot w , dy

Passo 4

Vamos resolver essa integral passo a passo:
F = rho cdot g cdot 1.200 cdot integral0^200 y , dy
A integral de $ y , dy $ de 0 a 200 é:
y , dy
Então:
integral0^200 y , dy = 12 y^2 |0^200 = 12 cdot 200^2 = 12 cdot 40.000 = 20.000

Passo 5

Agora, vamos calcular os valores numéricos:
F = 62.4 times 32.2 = 2008.68 , lb/ft^2
2008.68 times 1.200 = 2410.416 , lb/ft
2410.416 times 20.000 = 48.208.32 , lb
Então, a força hidrostática total na barragem é de aproximadamente 48.208.32 libras.

Resposta

A força hidrostática na barragem é de aproximadamente 48.208 , lb.

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