Um guindaste é usado para abaixar pesos em um lago para um projeto de construção submersa. Determine a tensão no cabo do guincho devido a um bloco de aço esférico de 3 ft de diâmetro (densidade
) quando ele está (a) suspenso no ar e (b) completamente imerso na água.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conceitos Necessários
Estamos resolvendo um problema de física sobre força e tensão em cabos. Um guindaste está abaixando um bloco esférico de aço com 3 pés de diâmetro e densidade de
. Precisamos descobrir a tensão no cabo do guindaste em duas situações:
(a) Quando o bloco está suspenso no ar.
(b) Quando o bloco está completamente imerso na água.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de volume, massa, peso e empuxo. Também vamos aplicar a fórmula do peso e a força de empuxo de Archimedes.
Passo 2
Calculando o Volume da Esfera
Primeiro, precisamos encontrar o volume do bloco esférico. A fórmula para o volume de uma esfera é:
Onde $ r $ é o raio da esfera. Sabemos que o diâmetro é 3 pés, então o raio $ r $ é metade disso:
Substituindo na fórmula:
Passo 3
Calculando a Massa do Bloco
A massa ($ m
\rho
V $):
Passo 4
Calculando o Peso do Bloco no Ar
O peso ($ P $) é a força devido à gravidade e pode ser calculado pela fórmula:
No sistema de unidades britânico (US customary units), usamos a aceleração devido à gravidade $ g \approx 32,174 , ft/s^2 $. Porém, para simplificar e dado que estamos trabalhando com libras força (lbf), podemos usar a relação $ W = m $ em lbm multiplicada por $ g $ em unidades consistentes, mas frequentemente em problemas de engenharia, massa em lbm é usada diretamente como peso em lbf.
Portanto, assumindo que $ P = m $:
Passo 5
Calculando a Tensão no Cabo no Ar (Parte a)
Quando o bloco está suspenso no ar, a tensão no cabo ($ T $) é igual ao peso do bloco:
Passo 6
Calculando a Força de Empuxo na Água
Quando o bloco está completamente imerso na água, ele sofre uma força de empuxo ($ E $) para cima, que é igual ao peso do volume de água deslocado. A densidade da água doce é aproximadamente
.
Passo 7
Calculando a Tensão no Cabo na Água (Parte b)
A tensão no cabo quando o bloco está imerso na água é igual ao peso do bloco menos o empuxo:
Resposta
(a) A tensão no cabo quando o bloco está suspenso no ar é aproximadamente 6.987 libras-força.
(b) A tensão no cabo quando o bloco está completamente imerso na água é aproximadamente 6.104 libras-força.