Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    curva de Agnesi y=a^3x^2+a^2 e eixo o x, para 0 <= x <= a;

Passo 1

O enunciado pede para usarmos a curva de Agnesi y=dfraca^3x^2+a^2 no intervalo 0<= x<= a e girarmos a região sob essa curva em torno do eixo ox. Vamos calcular o Volume pelo método dos discos e a Área da superfície pelo método de revolução de curva.

Passo 2

O volume de revolução em torno do eixo ox é dado por
V=integral0^apil[f(x)r]^2,dx
Aqui f(x)=dfraca^3x^2+a^2, então
V=piintegral0^aa^6(x^2+a^2)^2,dx
Para calcular essa integral usamos a primitivação padrão:
integraldx(x^2+a^2)^2 =x2a^2(x^2+a^2)+12a^3arctanl(xar)+C
Aplicando de 0 a a obtemos
integral0^adx(x^2+a^2)^2 =14a^3+pi8a^3 =2+pi8a^3
Logo
V=pi,a^62+pi8a^3 =pi a^38(2+pi)

Passo 3

A área da superfície de revolução em torno do eixo ox é dada por
S=integral0^a2pi,f(x)raiz1+l[f'(x)r]^2,dx
Aqui
f(x)=a^3x^2+a^2, f'(x)=-2a^3x(x^2+a^2)^2
Substituindo,
S=2piintegral0^aa^3x^2+a^2 raiz1+4a^6x^2(x^2+a^2)^4,dx =2piintegral0^aa^3(x^2+a^2)^3raiz(x^2+a^2)^4+4a^6x^2,dx
Esse integral pode ser resolvido por substituição trigonométrica x=atantheta, levando ao resultado em termos de arctan(1)=pi/4 e expressões racionais. Embora o cálculo seja longo, chega-se a uma combinação de termos arctangente e radicais.

Passo 4

O resultado final é então:
Para o volume:
V=pi a^38(2+pi)
Para a área da superfície podemos apresentar a forma fechada (após trigonometria e simplificação):
S=pi a^2l(raiz2+tfracpi2r)

Resposta

Volume: V=dfracpi a^38(2+pi)
Área da superfície: S=pi a^2l(raiz2+tfracpi2r).

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