Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva de Agnesi
e eixo
, para
;
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva de Agnesi
Passo 1
O enunciado pede para usarmos a curva de Agnesi
no intervalo
e girarmos a região sob essa curva em torno do eixo
. Vamos calcular o Volume pelo método dos discos e a Área da superfície pelo método de revolução de curva.
Passo 2
O volume de revolução em torno do eixo
é dado por
Aqui
, então
Para calcular essa integral usamos a primitivação padrão:
Aplicando de
a
obtemos
Logo
Passo 3
A área da superfície de revolução em torno do eixo
é dada por
Aqui
Substituindo,
Esse integral pode ser resolvido por substituição trigonométrica
, levando ao resultado em termos de
e expressões racionais. Embora o cálculo seja longo, chega-se a uma combinação de termos arctangente e radicais.
Passo 4
O resultado final é então:
Para o volume:
Para o volume:
Para a área da superfície podemos apresentar a forma fechada (após trigonometria e simplificação):
Resposta
Volume:
Área da superfície: .
Área da superfície: