Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola
e reta
;
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
parábola
Passo 1
Estamos lidando com a região R no plano definida pelas curvas y = x² (parábola) e y = 3 – 2x (reta). O conteúdo aqui é revolução de áreas: para volume usamos “washers” (para eixo x) e cascas cilíndricas (para eixo y), e para área de superfície usamos as fórmulas dadas para cada curva. Vamos primeiro achar onde elas se cruzam:
Igualando x² = 3 – 2x temos x² + 2x – 3 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = –3. Então a região vai de x = –3 até x = 1.
Igualando x² = 3 – 2x temos x² + 2x – 3 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = –3. Então a região vai de x = –3 até x = 1.
Passo 2
Para o volume em torno do eixo Ox usamos washers:
Expandindo (3–2x)² = 9 –12x +4x², (x²)² = x⁴, integrais levam a V_x = π·(1088/15) = 1088π/15.
Passo 3
Para o volume em torno do eixo Oy usamos cascas cilíndricas e lembramos que o raio é |x|, pois para x<0 temos raio positivo igual a –x:
A conta dá V_y = 71π/3.
Passo 4
Agora a área de superfície para revolver R em torno de Ox vem de somar as superfícies geradas por cada fronteira y=f(x):
A primeira integral é simples: S₁ = 2π√5 ∫(3–2x)dx = 40π√5. A segunda exige um pouco de cálculo (substituição trigonométrica), resultando em
$$S_2 = 2\pi \Bigl[\frac{x}{16}(1+4x2){3/2} - \frac{x}{32}(1+4x2){1/2} - \frac{1}{64}\ln\bigl(2x+\sqrt{1+4x2}\bigr)\Bigr]_{-3}{1}.
- \frac{\pi}{32}\ln!\Bigl(\frac{\sqrt{37}-6}{2+\sqrt{5}}\Bigr).
$$
Passo 5
Por fim, a área de superfície em torno do eixo Oy soma as contribuições das duas curvas (usando r=|x|):
Fazendo as duas integrais (quebrando em [-3,0] e [0,1]) chega-se a
$$S_y = \frac{\pi}{6}\bigl(37\sqrt{37} + 65\sqrt{5} - 2\bigr).
$$
Resposta
Volume em torno de Ox:
. Volume em torno de Oy:
. Área de superfície em torno de Ox: $$S_x = \frac{\pi}{16}\bigl(649\sqrt{5} + 219\sqrt{37}\bigr) + \frac{\pi}{32}\ln!\Bigl(\frac{\sqrt{37}-6}{2+\sqrt{5}}\Bigr).
$$