Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    parábola y=x^2 e reta y=3-2 x;

Passo 1

Estamos lidando com a região R no plano definida pelas curvas y = x² (parábola) e y = 3 – 2x (reta). O conteúdo aqui é revolução de áreas: para volume usamos “washers” (para eixo x) e cascas cilíndricas (para eixo y), e para área de superfície usamos as fórmulas dadas para cada curva. Vamos primeiro achar onde elas se cruzam:
Igualando x² = 3 – 2x temos x² + 2x – 3 = 0, cujas raízes são x = 1 e x = –3. Então a região vai de x = –3 até x = 1.

Passo 2

Para o volume em torno do eixo Ox usamos washers:
Vx = pi integral-3^1 l[(3-2x)^2 - (x^2)^2r] ,dx
Expandindo (3–2x)² = 9 –12x +4x², (x²)² = x⁴, integrais levam a V_x = π·(1088/15) = 1088π/15.

Passo 3

Para o volume em torno do eixo Oy usamos cascas cilíndricas e lembramos que o raio é |x|, pois para x<0 temos raio positivo igual a –x:
Vy = 2pi l(integral-3^0 (-x)[(3-2x)-x^2]dx + integral0^1 x[(3-2x)-x^2]dxr)
A conta dá V_y = 71π/3.

Passo 4

Agora a área de superfície para revolver R em torno de Ox vem de somar as superfícies geradas por cada fronteira y=f(x):
Sx = 2pi integral-3^1 (3-2x)raiz1+(-2)^2,dx ;+ ;2pi integral-3^1 x^2raiz1+(2x)^2,dx
A primeira integral é simples: S₁ = 2π√5 ∫(3–2x)dx = 40π√5. A segunda exige um pouco de cálculo (substituição trigonométrica), resultando em
$$S_2 = 2\pi \Bigl[\frac{x}{16}(1+4x2){3/2} - \frac{x}{32}(1+4x2){1/2} - \frac{1}{64}\ln\bigl(2x+\sqrt{1+4x2}\bigr)\Bigr]_{-3}{1}.
S2 = 2pi l[x16(1+4x^2)^3/2 - x32(1+4x^2)^1/2 - 164lnl(2x+raiz1+4x^2r)r]-3^1 S_x = \frac{\pi}{16}\bigl(649\sqrt{5} + 219\sqrt{37}\bigr)
  • \frac{\pi}{32}\ln!\Bigl(\frac{\sqrt{37}-6}{2+\sqrt{5}}\Bigr).
$$

Passo 5

Por fim, a área de superfície em torno do eixo Oy soma as contribuições das duas curvas (usando r=|x|):
Sy = 2pi integral-3^1 |x|raiz1+(-2)^2dx + 2pi integral-3^1 |x|raiz1+(2x)^2dx
Fazendo as duas integrais (quebrando em [-3,0] e [0,1]) chega-se a
$$S_y = \frac{\pi}{6}\bigl(37\sqrt{37} + 65\sqrt{5} - 2\bigr).
$$

Resposta

Volume em torno de Ox: Vx = tfrac1088pi15. Volume em torno de Oy: Vy = tfrac71pi3. Área de superfície em torno de Ox: $$S_x = \frac{\pi}{16}\bigl(649\sqrt{5} + 219\sqrt{37}\bigr) + \frac{\pi}{32}\ln!\Bigl(\frac{\sqrt{37}-6}{2+\sqrt{5}}\Bigr).
Sx = pi16l(649raiz5 + 219raiz37r) + pi32ln!l(raiz37-62+raiz5r) ÁíS_y = \frac{\pi}{6}\bigl(37\sqrt{37} + 65\sqrt{5} - 2\bigr).
$$

Exercícios relacionados