Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    curva y=tan x, eixo ox e x=pi3;

Passo 1

Temos a região R limitada pela curva y = tan x, pelo eixo ox (y=0) e pela reta x = π/3. O conteúdo é cálculo de volumes e de áreas de superfícies geradas por revolução. Vamos usar as fórmulas: rotação em torno de ox e rotação em torno de oy para volume e área.

Passo 2

Para rotação em torno do eixo ox, usamos as fórmulas
Volume:
Vx = integral0^pi/3 pil[f(x)r]^2,dx = integral0^pi/3 pitan^2x,dx
Área de superfície:
Sx = integral0^pi/3 2pi,f(x)raiz1+l[f'(x)r]^2,dx = integral0^pi/32pitan xraiz1+sec^4x,dx
Observe que f(x)=tan x e f’(x)=sec^2x.

Passo 3

Calculemos V_x. Como tan^2x=sec^2x-1,
integral0^pi/3tan^2x,dx = integral0^pi/3(sec^2x-1),dx = [tan x - x]0^pi/3 = tan(pi/3)-tfracpi3 = raiz3 - tfracpi3
Logo,
Vx = pil(raiz3 - tfracpi3r)

Passo 4

A área de superfície para rotação em torno de ox fica então
Sx = 2piintegral0^pi/3 tan xraiz1+sec^4x,dx,
que pode ser deixada na forma de integral.

Passo 5

Para rotação em torno do eixo oy, usamos as fórmulas
Volume:
Vy = integral0^pi/32pi x f(x),dx = integral0^pi/32pi xtan x,dx,
Área de superfície:
Sy = integral0^pi/32pi xraiz1+l[f'(x)r]^2,dx = integral0^pi/32pi xraiz1+sec^4x,dx

Passo 6

Portanto, os resultados são os seguintes:

Resposta

Rotation about ox:
Volume: Vx = pil(raiz3 - tfracpi3r).
Surface area: Sx = 2piintegral0^pi/3 tan xraiz1+sec^4x,dx.
Rotation about oy:
Volume: Vy = 2piintegral0^pi/3 xtan x,dx.
Surface area: Sy = 2piintegral0^pi/3 xraiz1+sec^4x,dx.

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