Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva
, eixo ox e
;
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva
Passo 1
Temos a região R limitada pela curva y = tan x, pelo eixo ox (y=0) e pela reta x = π/3. O conteúdo é cálculo de volumes e de áreas de superfícies geradas por revolução. Vamos usar as fórmulas: rotação em torno de ox e rotação em torno de oy para volume e área.
Passo 2
Para rotação em torno do eixo ox, usamos as fórmulas
Volume:
Volume:
Área de superfície:
Observe que f(x)=tan x e f’(x)=sec^2x.
Passo 3
Calculemos V_x. Como
,
Logo,
Passo 4
A área de superfície para rotação em torno de ox fica então
que pode ser deixada na forma de integral.
Passo 5
Para rotação em torno do eixo oy, usamos as fórmulas
Volume:
Volume:
Área de superfície:
Passo 6
Portanto, os resultados são os seguintes:
Resposta
Rotation about ox:
Volume: .
Volume:
Surface area:
.
Rotation about oy:
Volume: .
Volume:
Surface area:
.