Considere os resultados abaixo:
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo ox é
    V=integrala^b pi[f(x)]^2 d x
  • O volume V do sólido gerado pela rotação de uma região R em torno do eixo oy é
    V=integrala^b 2 pi x f(x) d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo oy é
    S=integrala^b 2 pi x raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
  • A área da superfície S gerada pela revolução da curva dada por y=f(x) entre x=a e x=b em torno do eixo o x é
    S=integrala^b 2 pi f(x) raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
    Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
    curva y=ln x, eixo o x e a reta x=e;

Passo 1

O enunciado pede para usar o método dos discos e das cascas cilíndricas para achar volume e o método da superfície de revolução para achar área, aplicando às rotações da região limitada por y=ln x, o eixo Ox e x=e (que intercepta y=0 em x=1), ou seja, x varia de 1 até e.

Passo 2

Para rotação em torno do eixo Ox usamos as fórmulas V=\int_a^b π[f(x)]^2dx e S=\int_a^b 2π f(x)√{1+[f’(x)]^2} dx. Aqui f(x)=ln x, f’(x)=1/x, a=1, b=e.

Passo 3

Volume em torno de Ox:
Vx=integral1^epi[ln x]^2dx

Passo 4

Para calcular usamos integral(ln x)^2dx = x(ln x)^2 -2xln x+2x. Assim
Vx=l[x(ln x)^2 -2xln x+2xr]1^epi =l(e -2r)pi

Passo 5

Área de superfície em torno de Ox:
Sx=integral1^e2π,f(x)raiz1+[f'(x)]^2,dx =2πintegral1^e(ln x)raiz1+1x^2,dx

Passo 6

Podemos simplificar o radical: √{1+1/x2}=√{x2+1}/x, logo
Sx=2πintegral1^e(ln x)raizx^2+1x,dx

Passo 7

Para rotação em torno do eixo Oy usamos V=\int_a^b2π x f(x)dx e S=\int_a^b2π x√{1+[f’(x)]^2}dx.

Passo 8

Volume em torno de Oy:
Vy=2πintegral1^exln x,dx

Passo 9

Fazendo integração por partes (u=ln x, dv=x dx) encontramos
integral xln x,dx=x^22ln x-x^24,

Passo 10

logo
Vy=2πl[x^22ln x-x^24r]1^e=πe^2+12

Passo 11

Área de superfície em torno de Oy:
Sy=2πintegral1^exraiz1+1x^2,dx =2πintegral1^eraizx^2+1,dx

Passo 12

Usando integralraizx^2+1dx=x2raizx^2+1+12ln(x+raizx^2+1) obtemos
Sy=πl[xraizx^2+1+lnl(x+raizx^2+1r)r]1^e

Resposta

V_x=π(e−2), S_x=2π∫₁ᵉ(ln x)·√{x²+1}/x dx, V_y=π(e²+1)/2, S_y=π[ e√{e²+1}+ln(e+√{e²+1}) − (√2+ln(1+√2)) ].

Exercícios relacionados