Considere os resultados abaixo:
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo ox é
- O volume
do sólido gerado pela rotação de uma região
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo oy é
- A área da superfície
gerada pela revolução da curva dada por
entre
e
em torno do eixo
é
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva
, eixo
e a reta
;
Levando-se em conta estes resultados determine a área da superfície de revolução e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
curva
Passo 1
O enunciado pede para usar o método dos discos e das cascas cilíndricas para achar volume e o método da superfície de revolução para achar área, aplicando às rotações da região limitada por y=ln x, o eixo Ox e x=e (que intercepta y=0 em x=1), ou seja, x varia de 1 até e.
Passo 2
Para rotação em torno do eixo Ox usamos as fórmulas V=\int_a^b π[f(x)]^2dx e S=\int_a^b 2π f(x)√{1+[f’(x)]^2} dx. Aqui f(x)=ln x, f’(x)=1/x, a=1, b=e.
Passo 3
Volume em torno de Ox:
Passo 4
Para calcular usamos
. Assim
Passo 5
Área de superfície em torno de Ox:
Passo 6
Podemos simplificar o radical: √{1+1/x2}=√{x2+1}/x, logo
Passo 7
Para rotação em torno do eixo Oy usamos V=\int_a^b2π x f(x)dx e S=\int_a^b2π x√{1+[f’(x)]^2}dx.
Passo 8
Volume em torno de Oy:
Passo 9
Fazendo integração por partes (u=ln x, dv=x dx) encontramos
Passo 10
logo
Passo 11
Área de superfície em torno de Oy:
Passo 12
Usando
obtemos
Resposta
V_x=π(e−2), S_x=2π∫₁ᵉ(ln x)·√{x²+1}/x dx, V_y=π(e²+1)/2, S_y=π[ e√{e²+1}+ln(e+√{e²+1}) − (√2+ln(1+√2)) ].