Calcule as integrais abaixo:
integral (2 x+4) d x(x-1)(x^2+1)^2
usando os seguintes métodos:
(a) decompondo as frações numa soma de frações;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2x+4(x-1)(x^2+1)^2,dx usando decomposição em frações parciais. O conteúdo aqui é decomposição de frações parciais para fatores lineares simples e fatores quadráticos repetidos, e vamos precisar usar as fórmulas básicas de integração de 1/(x-1), 1/(x^2+1), x/(x^2+1) e 1/(x^2+1)^2.

Passo 2

Propondo a decomposição parcial, escrevemos
2x+4(x-1)(x^2+1)^2=Ax-1+Bx+Cx^2+1+Dx+E(x^2+1)^2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+1)^2 e comparando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema
A+B=0, -C +B=0, 2A +B -C +D=0, -C +B +E -D=2, A -C -E=4

Passo 4

Resolvendo esse sistema encontramos
A=tfrac32, B=-tfrac32, C=-tfrac32, D=-3, E=-1

Passo 5

Assim a integral se separa em três parcelas:
integral Ax-1,dx +integral Bx+Cx^2+1,dx +integral Dx+E(x^2+1)^2,dx

Passo 6

Calculando cada uma: (i) integral 3/2x-1,dx=tfrac32ln|x-1|
(ii) Com B=-3/2, C=-3/2,
integral (-tfrac32x-tfrac32)x^2+1,dx=-tfrac32integralx+1x^2+1,dx =-tfrac32l(tfrac12ln(x^2+1)+arctan xr) =-tfrac34ln(x^2+1)-tfrac32arctan x
(iii) Com D=-3, E=-1, separamos
integral-3x(x^2+1)^2,dx +integral-1(x^2+1)^2,dx =321x^2+1-l(x2(x^2+1)+12arctan xr)
Somando tudo e combinando termos em arctan x e as frações racionais, chega-se a:
32ln|x-1| -34ln(x^2+1)-2arctan x+3-x2(x^2+1)+C

Resposta

integral 2x+4(x-1)(x^2+1)^2,dx=32ln|x-1|-34ln(x^2+1)-2arctan x+3-x2(x^2+1)+C

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