Calcule as integrais abaixo:
usando os seguintes métodos:
(a) decompondo as frações numa soma de frações;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral usando decomposição em frações parciais. O conteúdo aqui é decomposição de frações parciais para fatores lineares simples e fatores quadráticos repetidos, e vamos precisar usar as fórmulas básicas de integração de , , e .
Passo 2
Propondo a decomposição parcial, escrevemos
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por e comparando coeficientes de potências de , obtemos o sistema
Passo 4
Resolvendo esse sistema encontramos
A=tfrac32, B=-tfrac32, C=-tfrac32, D=-3, E=-1
Passo 5
Assim a integral se separa em três parcelas:
integral Ax-1,dx +integral Bx+Cx^2+1,dx +integral Dx+E(x^2+1)^2,dx
Passo 6
Calculando cada uma: (i) integral 3/2x-1,dx=tfrac32ln|x-1|
(ii) Com B=-3/2, C=-3/2,
integral (-tfrac32x-tfrac32)x^2+1,dx=-tfrac32integralx+1x^2+1,dx =-tfrac32l(tfrac12ln(x^2+1)+arctan xr) =-tfrac34ln(x^2+1)-tfrac32arctan x