Calcule as integrais abaixo:
integral (3 x^2-5 x+8) d xx^2-4
usando os seguintes métodos:
(a) decompondo as frações numa soma de frações;

Passo 1

Temos que calcular a integral integral 3x^2 - 5x + 8x^2 - 4 , dx. O conteúdo aqui é integração de razão de polinômios e vamos precisar usar: divisão de polinômios para separar parte polinomial mais uma fração propriamente dita e, em seguida, decomposição em frações parciais para integrar.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão de 3x^2 - 5x + 8 por x^2 - 4. Como ambos têm grau 2, o quociente é um número:
3x^2 - 5x + 8x^2 - 4 = 3 + (3x^2 - 5x + 8) - 3(x^2 - 4)x^2 - 4 = 3 + -5x + 20x^2 - 4,

Passo 3

Agora decompondo a fração -5x + 20x^2 - 4 em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por -5x + 20(x - 2)(x + 2) = Ax - 2 + Bx + 2 obtemos
(x-2)(x+2)
Comparando coeficientes, vem o sistema
A(x+2) + B(x-2) = -5x + 20,
cuja solução é A + B = -5, 2A - 2B = 20, e A = 5/2. Então a integral vira
B = -15/2

Passo 4

Agora integramos termo a termo: a integral de 3 é 3x, e a de 1/(x - a) é ln|x - a|. Assim:
Juntando tudo e incluindo a constante de integração, obtemos a forma final da antiderivada.

Resposta

3x + tfrac52 ln|x - 2| - tfrac152 ln|x + 2| + C

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