Considere resultados de tempo de processamento em (segundos) realizados em 2 máquinas (24 máquina 1; 24 máquina 2).
Máquina 1 35 35 35 37 37 38 38 39 39 40 40 40
40 41 41 41 42 43 44 45 45 45 46 47
Máquina 2 38 38 42 42 44 46 48 49 50 51 51 51
51 51 53 55 56 57 60 61 62 63 63 67
Calcule:
A) Média
B) Desvio Padrão
C) Coeficiente de Variação
D) Mediana
E) Q 1
F) Q3
G) Distância Interquartílica
H) Desenvolva o Box Plot
I) Conclua sobre o processamento das duas máquinas

Passo 1

O enunciado fornece tempos de processamento (em segundos) para duas máquinas, cada uma com n=24 observações, e pede medidas descritivas: média, desvio padrão, coeficiente de variação, mediana, quartis, distância interquartílica, construção do box‐plot e conclusão comparativa. O conteúdo envolve estatística descritiva e análise de dispersão.

Passo 2

Cálculo para a Máquina 1:
  1. Ordenando os dados temos
35,35,35,37,37,38,38,39,39,40,40,40,40,41,41,41,42,43,44,45,45,45,46,47.
  1. Soma e soma dos quadrados
\sum x_i=973,\quad \sum x_i^2=39735.
  1. Média
\bar x_1 = \frac{973}{24}\approx 40{,}5417.
  1. Variância populacional
\sigma_1^2 = \frac{39735}{24} - \bar x_1^2 \approx 11{,}955,
desvio padrão
\sigma_1 = \sqrt{11{,}955}\approx 3{,}458.
  1. Coeficiente de variação
CV_1 = \frac{\sigma_1}{\bar x_1}\approx \frac{3{,}458}{40{,}5417}\approx 0{,}0853\;(8{,}53\%).
  1. Mediana (posições 12 e 13):
\text{Med}_1 = \frac{40 + 40}{2} = 40.
  1. Primeiro quartil (posições 6 e 7):
Q_{1,1} = \frac{38 + 38}{2} = 38.
  1. Terceiro quartil (posições 18 e 19):
Q_{3,1} = \frac{43 + 44}{2} = 43{,}5.
  1. Distância interquartílica
IQR_1 = Q_{3,1} - Q_{1,1} = 43{,}5 - 38 = 5{,}5.

Passo 3

Cálculo para a Máquina 2:
  1. Ordenando os dados temos
38,38,42,42,44,46,48,49,50,51,51,51,51,51,53,55,56,57,60,61,62,63,63,67.
  1. Soma e soma dos quadrados
\sum x_i=1249,\quad \sum x_i^2=66489.
  1. Média
\bar x_2 = \frac{1249}{24}\approx 52{,}0417.
  1. Variância populacional
\sigma_2^2 = \frac{66489}{24} - \bar x_2^2 \approx 62{,}037,
desvio padrão
\sigma_2 = \sqrt{62{,}037}\approx 7{,}880.
  1. Coeficiente de variação
CV_2 = \frac{\sigma_2}{\bar x_2}\approx \frac{7{,}880}{52{,}0417}\approx 0{,}1515\;(15{,}15\%).
  1. Mediana (posições 12 e 13):
\text{Med}_2 = \frac{51 + 51}{2} = 51.
  1. Primeiro quartil (posições 6 e 7):
Q_{1,2} = \frac{46 + 48}{2} = 47.
  1. Terceiro quartil (posições 18 e 19):
Q_{3,2} = \frac{57 + 60}{2} = 58{,}5.
  1. Distância interquartílica
IQR_2 = Q_{3,2} - Q_{1,2} = 58{,}5 - 47 = 11{,}5.

Passo 4

Construção do box‐plot (critério de Tukey):
  • Máquina 1:
    Q_{1,1}=38, Q_{3,1}=43{,}5, IQR_1=5{,}5.
    Limites para outliers: L = Q_{1,1} - 1{,}5\,IQR_1 = 38 - 8{,}25 = 29{,}75,\quad U = Q_{3,1} + 1{,}5\,IQR_1 = 43{,}5 + 8{,}25 = 51{,}75.Min = 35, Max = 47 (sem outliers).
  • Máquina 2:
    Q_{1,2}=47, Q_{3,2}=58{,}5, IQR_2=11{,}5.
    Limites para outliers: L = 47 - 1{,}5\cdot11{,}5 = 29{,}75,\quad U = 58{,}5 + 1{,}5\cdot11{,}5 = 75{,}75.Min = 38, Max = 67 (sem outliers).

Passo 5

Conclusão:
A Máquina 1 apresenta menor média ( 40{,}54 s vs. 52{,}04 s) e menor variabilidade ( CV_1=8{,}53\% vs. CV_2=15{,}15\%), sendo mais rápida e mais estável. A Máquina 2 é mais lenta e com maior dispersão nos tempos de processamento.

Resposta

A) Médias: Máquina 1 \bar x_1\approx40{,}54, Máquina 2 \bar x_2\approx52{,}04.
B) Desvios padrão: \sigma_1\approx3{,}46, \sigma_2\approx7{,}88.
C) Coeficientes de variação: CV_1\approx8{,}53\%, CV_2\approx15{,}15\%.
D) Medianas: Med_1 = 40, Med_2 = 51.
E) Q_{1,1}=38, Q_{1,2}=47.
F) Q_{3,1}=43{,}5, Q_{3,2}=58{,}5.
G) IQR: IQR_1=5{,}5, IQR_2=11{,}5.
H) Box‐plot:
Máquina 1 – caixa de 38 a 43,5, whiskers de 35 a 47 (sem outliers).
Máquina 2 – caixa de 47 a 58,5, whiskers de 38 a 67 (sem outliers).
I) A Máquina 1 é mais eficiente (menor tempo médio) e mais consistente (menor variabilidade) que a Máquina 2.

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