Considere a reta \ell representada por x-2 y=0. Encontre um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell e outro vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell. Determine a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}. Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica. Use esta matriz para encontrar \operatorname{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).

Passo 1

O enunciado dá a reta \ell definida por \,x-2y=0.\n
As tarefas pedidas são:
  • Encontrar um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell.
  • Encontrar um vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell.
  • Determinar a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
  • Usar uma matriz de transição apropriada para obter a matriz da projeção relativa à base canônica.
  • Usar essa matriz para calcular \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).
Informações importantes fornecidas: a equação da reta \ell é \,x-2y=0. Os vetores \mathbf{u} a projetar são (2,1), (-1,2) e (5,0).

Passo 2

Escolher um vetor paralelo a \ell e um ortogonal a \ell, explicando por que funcionam.
A reta \ell tem equação \,x-2y=0. O vetor normal à reta (coeficientes da equação) é \mathbf{n}=(1,-2). Um vetor ortogonal à reta é, portanto,
\mathbf{w}=(1,-2).
Qualquer vetor \mathbf{v} que satisfaça \,x-2y=0 é paralelo a \ell. Tomando valores inteiros simples, escolho
\mathbf{v}=(2,1),
porque 2-2\cdot1=0. Confirmação: \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=2\cdot1+1\cdot(-2)=0, logo \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{w} e, portanto, paralelo à reta.

Passo 3

Matriz da projeção na base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
Na base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} temos que a projeção ortogonal em \ell=\operatorname{span}\{\mathbf{v}\} age assim:
  • envia \mathbf{v} para \mathbf{v} (porque \mathbf{v} já está na reta),
  • envia \mathbf{w} para \mathbf{0} (porque \mathbf{w} é ortogonal à reta).
Logo a matriz A da projeção relativa à base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} (coluna 1 = imagem de \mathbf{v} em coordenadas da mesma base, coluna 2 = imagem de \mathbf{w}) é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 4

Matriz de transição da base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} para a base canônica e sua inversa.
Montamos a matriz S cujas colunas são \mathbf{v} e \mathbf{w} expressos na base canônica:
S=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Calcular \det S:
\det S = 2\cdot(-2)-1\cdot1 = -4-1 = -5.
A inversa de uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando:
S^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Matriz da projeção na base canônica usando P=S A S^{-1}.
Primeiro calculo S A. Como A deixa só a primeira coluna de S,
S A = \begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
Agora multiplico por S^{-1}:
P = S A S^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix}.
Faço a multiplicação linha×coluna:
Primeira linha de P:
P_{11}=2\cdot\frac{2}{5}+0\cdot\frac{1}{5}=\frac{4}{5},\qquad P_{12}=2\cdot\frac{1}{5}+0\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}.
Segunda linha de P:
P_{21}=1\cdot\frac{2}{5}+0\cdot\frac{1}{5}=\frac{2}{5},\qquad P_{22}=1\cdot\frac{1}{5}+0\cdot\left(-\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{5}.
Portanto a matriz da projeção em coordenadas canônicas é
P=\begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix}.
Breve comentário intuitivo: P é simétrica e idempotente ( P^2=P), característica de projeções ortogonais.]

Passo 6

Calcular \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u}=P\mathbf{u} para cada \mathbf{u} dado.
  1. Para \mathbf{u}=(2,1):
P\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Calculo entradas:
\text{primeira} = \frac{4}{5}\cdot2+\frac{2}{5}\cdot1=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}= \frac{10}{5}=2,
\text{segunda} = \frac{2}{5}\cdot2+\frac{1}{5}\cdot1=\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1.
Logo \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(2,1)=(2,1). Faz sentido porque (2,1) já está na reta.
  1. Para \mathbf{u}=(-1,2):
P\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}.
Calculo:
\text{primeira} = \frac{4}{5}\cdot(-1)+\frac{2}{5}\cdot2=-\frac{4}{5}+\frac{4}{5}=0,
\text{segunda} = \frac{2}{5}\cdot(-1)+\frac{1}{5}\cdot2=-\frac{2}{5}+\frac{2}{5}=0.
Então \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(-1,2)=(0,0). Isso ocorre porque (-1,2) é ortogonal à reta (produto escalar com \mathbf{v} é zero).
  1. Para \mathbf{u}=(5,0):
P\begin{pmatrix}5\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Calculo:
\text{primeira} = \frac{4}{5}\cdot5+\frac{2}{5}\cdot0=4,
\text{segunda} = \frac{2}{5}\cdot5+\frac{1}{5}\cdot0=2.
Logo \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(5,0)=(4,2), que é 2\mathbf{v}.]

Resposta

\mathbf{v}=(2,1)
\mathbf{w}=(1,-2)
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix} (na base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\})
P=\begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix} (na base canônica)
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(2,1)=(2,1)
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(-1,2)=(0,0)
\operatorname{proj}_{\mathbf{v}}(5,0)=(4,2)]

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