Considere a reta \ell representada por x-2 y=0. Encontre um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell e outro vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell. Determine a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v}, \mathbf{w}\}. Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica. Use esta matriz para encontrar \operatorname{proj}_{\mathbf{v}} \mathbf{u} para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).
Passo 1
O enunciado dá a reta \ell definida por \,x-2y=0.\n
As tarefas pedidas são:
Encontrar um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell.
Encontrar um vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell.
Determinar a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
Usar uma matriz de transição apropriada para obter a matriz da projeção relativa à base canônica.
Usar essa matriz para calcular \operatorname{proj}_{\mathbf{v}}\mathbf{u} para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).
Informações importantes fornecidas: a equação da reta \ell é \,x-2y=0. Os vetores \mathbf{u} a projetar são (2,1), (-1,2) e (5,0).
Passo 2
Escolher um vetor paralelo a \ell e um ortogonal a \ell, explicando por que funcionam.
A reta \ell tem equação \,x-2y=0. O vetor normal à reta (coeficientes da equação) é \mathbf{n}=(1,-2). Um vetor ortogonal à reta é, portanto,
\mathbf{w}=(1,-2).
Qualquer vetor \mathbf{v} que satisfaça \,x-2y=0 é paralelo a \ell. Tomando valores inteiros simples, escolho
\mathbf{v}=(2,1),
porque 2-2\cdot1=0. Confirmação: \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=2\cdot1+1\cdot(-2)=0, logo \mathbf{v} é ortogonal a \mathbf{w} e, portanto, paralelo à reta.
Passo 3
Matriz da projeção na base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
Na base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} temos que a projeção ortogonal em \ell=\operatorname{span}\{\mathbf{v}\} age assim:
envia \mathbf{v} para \mathbf{v} (porque \mathbf{v} já está na reta),
envia \mathbf{w} para \mathbf{0} (porque \mathbf{w} é ortogonal à reta).
Logo a matriz A da projeção relativa à base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} (coluna 1 = imagem de \mathbf{v} em coordenadas da mesma base, coluna 2 = imagem de \mathbf{w}) é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.]
Passo 4
Matriz de transição da base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} para a base canônica e sua inversa.
Montamos a matriz S cujas colunas são \mathbf{v} e \mathbf{w} expressos na base canônica:
S=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -2\end{pmatrix}.
Calcular \det S:
\det S = 2\cdot(-2)-1\cdot1 = -4-1 = -5.
A inversa de uma matriz 2\times2\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} é \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando: