Considere uma reta geral \ell representada por a x+b y=0. Encontre um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell e outro vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell. Determine a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada {\mathbf{v}, \mathbf{w}}). Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica.

Passo 1

O enunciado dá a reta \ell definida por a x+b y=0. Pede-se:
  • um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell;
  • um vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell;
  • a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\};
  • a matriz da mesma projeção relativa à base canônica.
Informações importantes dadas:
  • A reta passa pela origem (coeficiente independente é zero).
  • Os coeficientes a e b são os componentes do vetor normal à reta.

Passo 2

Identificar um vetor normal e um vetor diretor da reta, usando os dados do enunciado.
Explicação básica: a equação a x+b y=0 tem como vetor normal \mathbf{n}=(a,b), porque \mathbf{n}\cdot(x,y)=a x+b y. Um vetor paralelo à reta é qualquer vetor ortogonal a \mathbf{n}.
Escolha prática (simples e comum):
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}\quad\text{(vetor ortogonal à reta)}à
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-b\\[4pt] a\end{pmatrix}\quad\text{(vetor paralelo à reta)}à
Verificação (produto escalar) para garantir ortogonalidade entre \mathbf{v} e \mathbf{w}:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=(-b)\,a + a\,b = -ab+ab = 0,
logo \mathbf{v} é paralelo a \ell e \mathbf{w} é ortogonal à reta.]

Passo 3

Matriz da projeção relativa à base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
Ideia-chave (didática): em uma base onde a primeira direção é precisamente a direção da reta e a segunda é perpendicular a ela, a projeção ortogonal sobre a reta simplesmente conserva a componente na primeira direção e anula a componente na segunda. Portanto, a matriz da projeção T nessa base é a matriz diagonal que deixa passar a primeira componente e zera a segunda.
Assim, relativa à base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} a matriz é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Explicação adicional: se um vetor tem coordenadas (\alpha,\beta) nessa base, então T envia (\alpha,\beta)\mapsto(\alpha,0), que corresponde à multiplicação por A.]

Passo 4

Matriz de transição entre a base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\} e a base canônica; fórmula para mudar de base.
Construção da matriz de passagem P (colunas são as coordenadas dos vetores da base nova expressos na base canônica):
P=\begin{pmatrix}\; -b & a \;\\[4pt]\; a & b\;\end{pmatrix},
onde a primeira coluna é \mathbf{v}=(-b,a) e a segunda é \mathbf{w}=(a,b).
Fórmula padrão: se A é a matriz da transformação na base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}, então a matriz M na base canônica é
M = P\,A\,P^{-1}.]

Passo 5

Cálculo de M=P A P^{-1} de forma eficiente.
Observação prática: como A tem primeira coluna (1,0)^\top e segunda coluna (0,0)^\top, o produto P A é simplesmente a matriz cujas colunas são \mathbf{v} e \mathbf{0}:
P A = \begin{pmatrix}-b & 0\\[4pt] a & 0\end{pmatrix}.
Portanto
M = (P A) P^{-1} = \begin{pmatrix}-b & 0\\[4pt] a & 0\end{pmatrix} P^{-1}.
Cálculo do determinante de P:
\det(P)=(-b)\cdot b - a\cdot a = -(a^2+b^2).
Logo
P^{-1} = -\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} b & -a\\[4pt] -a & -b\end{pmatrix}.
Agora multiplicar:
\begin{pmatrix}-b & 0\\[4pt] a & 0\end{pmatrix} \left(-\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix} b & -a\\[4pt] -a & -b\end{pmatrix}\right) = -\frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} -b & 0\\[4pt] a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & -a\\[4pt] -a & -b\end{pmatrix}.
Fazendo a multiplicação das matrizes internas:
\begin{pmatrix} -b & 0\\[4pt] a & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b & -a\\[4pt] -a & -b\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b\cdot b + 0\cdot(-a) & -b\cdot(-a) + 0\cdot(-b)\\[6pt] a\cdot b + 0\cdot(-a) & a\cdot(-a) + 0\cdot(-b) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -b^2 & ab\\[4pt] ab & -a^2 \end{pmatrix}.
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{a^2+b^2} obtemos
M=\frac{1}{a^2+b^2} \begin{pmatrix} b^2 & -ab\\[4pt] -ab & a^2 \end{pmatrix}.
Passo interpretativo curto: este M é exatamente a fórmula clássica do projetor ortogonal sobre a subespaço gerado por \mathbf{v}:
M=\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^\top}{\mathbf{v}^\top\mathbf{v}},
e, substituindo \mathbf{v}=(-b,a) dá o mesmo resultado.]

Passo 6

Verificações rápidas (para ganhar confiança):
  • M é simétrica e idempotente: M^\top=M e M^2=M, propriedades típicas de um projetor ortogonal.
  • M\mathbf{v}=\mathbf{v} (vetor na reta é invariantemente projetado sobre si mesmo).
  • M\mathbf{w}=\mathbf{0} (vetor orthogonal à reta é projetado em zero).

Resposta

\displaystyle \mathbf{v}=\begin{pmatrix}-b\\[4pt] a\end{pmatrix}
\displaystyle \mathbf{w}=\begin{pmatrix}a\\[4pt] b\end{pmatrix}
\displaystyle A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} (matriz da projeção relativa à base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\})
\displaystyle M=\frac{1}{a^2+b^2}\begin{pmatrix}b^2 & -ab\\[4pt]-ab & a^2\end{pmatrix} (matriz da projeção relativa à base canônica)]

Exercícios relacionados