Considere uma reta geral
representada por
. Encontre um vetor
paralelo a
e outro vetor
ortogonal a
. Determine a matriz
da projeção em
relativa à base ordenada {\mathbf{v}, \mathbf{w}}). Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica.
Passo 1
O enunciado dá a reta
definida por
. Pede-se:
- um vetor
paralelo a ; - um vetor
ortogonal a ; - a matriz
da projeção em relativa à base ordenada ; - a matriz da mesma projeção relativa à base canônica.
Informações importantes dadas:
- A reta passa pela origem (coeficiente independente é zero).
- Os coeficientes
e são os componentes do vetor normal à reta.
Passo 2
Identificar um vetor normal e um vetor diretor da reta, usando os dados do enunciado.
Explicação básica: a equação
tem como vetor normal
, porque
. Um vetor paralelo à reta é qualquer vetor ortogonal a
.
Escolha prática (simples e comum):
Verificação (produto escalar) para garantir ortogonalidade entre
e
:
logo
é paralelo a
e
é ortogonal à reta.]
Passo 3
Matriz da projeção relativa à base
.
Ideia-chave (didática): em uma base onde a primeira direção é precisamente a direção da reta e a segunda é perpendicular a ela, a projeção ortogonal sobre a reta simplesmente conserva a componente na primeira direção e anula a componente na segunda. Portanto, a matriz da projeção
nessa base é a matriz diagonal que deixa passar a primeira componente e zera a segunda.
Assim, relativa à base ordenada
a matriz é
Explicação adicional: se um vetor tem coordenadas
nessa base, então
envia
, que corresponde à multiplicação por
.]
Passo 4
Matriz de transição entre a base
e a base canônica; fórmula para mudar de base.
Construção da matriz de passagem
(colunas são as coordenadas dos vetores da base nova expressos na base canônica):
onde a primeira coluna é
e a segunda é
.
Fórmula padrão: se
é a matriz da transformação na base
, então a matriz
na base canônica é
Passo 5
Cálculo de
de forma eficiente.
Observação prática: como
tem primeira coluna
e segunda coluna
, o produto
é simplesmente a matriz cujas colunas são
e
:
Portanto
Cálculo do determinante de
:
Logo
Agora multiplicar:
Fazendo a multiplicação das matrizes internas:
Multiplicando pelo fator
obtemos
Passo interpretativo curto: este
é exatamente a fórmula clássica do projetor ortogonal sobre a subespaço gerado por
:
e, substituindo
dá o mesmo resultado.]
Passo 6
Verificações rápidas (para ganhar confiança):
-
é simétrica e idempotente: e , propriedades típicas de um projetor ortogonal. -
(vetor na reta é invariantemente projetado sobre si mesmo). -
(vetor orthogonal à reta é projetado em zero).