Considere a reta \ell representada por x-2 y=0. Encontre um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell e outro vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell. Determine a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada {\mathbf{v}, \mathbf{w}}). Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica. Use esta matriz para encontrar proj \mathbf{v} \mathbf{u}) para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).

Passo 1

O enunciado nos dá a reta \ell definida por x-2y=0. Precisa-se:
  • encontrar um vetor \mathbf{v} paralelo a \ell e um vetor \mathbf{w} ortogonal a \ell;
  • determinar a matriz A da projeção em \ell relativa à base ordenada \{\mathbf{v},\mathbf{w}\};
  • usar uma matriz de transição apropriada para achar a matriz da projeção relativa à base canônica;
  • usar essa matriz canônica para calcular \operatorname{proj}_{\ell}(\mathbf{u}) para \mathbf{u}=(2,1), \mathbf{u}=(-1,2) e \mathbf{u}=(5,0).
Informações dadas:
  • equação da reta: x-2y=0 (ou seja, x=2y);
  • vetores pedidos e matrizes devem ser expressos explicitamente e depois aplicados aos vetores \mathbf{u} listados.

Passo 2

Escolher \mathbf{v} paralelo a \ell e \mathbf{w} ortogonal a \ell, explicando a ideia.
  • Para obter um vetor diretor da reta, ponha y=t. Então x=2t. Tomando t=1 obtemos um vetor diretor
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Isto é paralelo a \ell porque seus pontos satisfazem x-2y=0.
  • Um vetor ortogonal à reta é um vetor normal à equação x-2y=0. O coeficiente de x e de y formam o vetor normal (1,-2). Assim podemos escolher
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Verificação de ortogonalidade: o produto escalar \mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=2\cdot1+1\cdot(-2)=0, logo são ortogonais.]

Passo 3

Matriz da projeção relativa à base \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}.
  • Intuição: a projeção em \ell manda a componente na direção de \mathbf{v} para si mesma e anula a componente na direção de \mathbf{w}. Em coordenadas relativas à base B=\{\mathbf{v},\mathbf{w}\}, um vetor qualquer tem coordenadas \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}_B e a projeção age como \begin{pmatrix}a\b\end{pmatrix}_B\mapsto\begin{pmatrix}a\\\ 0\end{pmatrix}_B.
  • Portanto a matriz A da projeção em relação à base B é
A=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},
pois ela mantém a primeira coordenada e zera a segunda.]

Passo 4

Matriz de transição S da base B para a base canônica e sua inversa.
  • Construir S cujas colunas são as coordenadas de \mathbf{v} e \mathbf{w} na base canônica:
S=\begin{pmatrix} \;2 & 1\;\\[4pt] \;1 & -2\;\end{pmatrix}.
Isto significa que para um vetor de coordenadas [x]_B temos o vetor canônico x_{\text{can}}=S\,[x]_B.
  • Calcular \det(S):
\det(S)=2\cdot(-2)-1\cdot1=-4-1=-5.
  • Inversa de S (fórmula para 2×2): se S=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} então S^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\\ -c&a\end{pmatrix}. Aplicando,
S^{-1}=\frac{1}{-5}\begin{pmatrix}-2 & -1\\[4pt]-1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix}.]

Passo 5

Transformar a matriz da projeção da base B para a base canônica.
  • Regra geral: se [T]_B=A é a matriz de uma transformação linear na base B e S é a matriz cujas colunas são os vetores de B na base canônica, então a matriz na base canônica é
[T]_{\text{can}}=S\,A\,S^{-1}.
  • Aqui A=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, logo S A é simplesmente a primeira coluna de S seguida de coluna zero:
S A=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}.
  • Multiplicando por S^{-1}:
[S]_{\text{can}}=S A S^{-1} = \begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2/5 & 1/5\\[4pt]1/5 & -2/5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4/5 & 2/5\\[4pt]2/5 & 1/5\end{pmatrix}.
  • Observação (fórmula conhecida): isto coincide com a fórmula da projeção ortogonal sobre a direção \mathbf{v}:
P=\frac{\mathbf{v}\mathbf{v}^\top}{\mathbf{v}^\top\mathbf{v}} = \frac{1}{2^2+1^2}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix},
o que confirma nosso resultado.]

Passo 6

Usar a matriz canônica da projeção para calcular \operatorname{proj}_{\ell}(\mathbf{u}) para os vetores pedidos.
A matriz da projeção é
P=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}.
Aplicar a P aos vetores:
  1. Para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}:
P\mathbf{u}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\cdot2+2\cdot1\\[4pt]2\cdot2+1\cdot1\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}10\\[4pt]5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
(Como esperado, \mathbf{v}=(2,1) já está na reta, então proj é ele mesmo.)
  1. Para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]2\end{pmatrix}:
P\mathbf{u}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\cdot(-1)+2\cdot2\\[4pt]2\cdot(-1)+1\cdot2\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}-4+4\\[4pt]-2+2\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
(Isto ocorre porque (-1,2) é múltiplo de \mathbf{w}, ou seja, é ortogonal à reta.)
  1. Para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}5\\[4pt]0\end{pmatrix}:
P\mathbf{u}=\frac{1}{5}\begin{pmatrix}4\cdot5+2\cdot0\\[4pt]2\cdot5+1\cdot0\end{pmatrix} =\frac{1}{5}\begin{pmatrix}20\\[4pt]10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

Resposta

\mathbf{v}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}
\mathbf{w}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}
Matriz da projeção em \{\mathbf{v},\mathbf{w}\}: \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}
Matriz da projeção na base canônica: \displaystyle \frac{1}{5}\begin{pmatrix}4 & 2\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}
\operatorname{proj}_{\ell}\bigl((2,1)\bigr)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}
\operatorname{proj}_{\ell}\bigl((-1,2)\bigr)=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}
\operatorname{proj}_{\ell}\bigl((5,0)\bigr)=\begin{pmatrix}4\\[4pt]2\end{pmatrix}]

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