Considere a reta
representada por
. Encontre um vetor
paralelo a
e outro vetor
ortogonal a
. Determine a matriz
da projeção em
relativa à base ordenada {\mathbf{v}, \mathbf{w}}). Finalmente, use uma matriz de transição apropriada para encontrar a matriz da projeção relativa à base canônica. Use esta matriz para encontrar proj \mathbf{v} \mathbf{u}) para
e
.
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
definida por
. Precisa-se:
- encontrar um vetor
paralelo a e um vetor ortogonal a ; - determinar a matriz
da projeção em relativa à base ordenada ; - usar uma matriz de transição apropriada para achar a matriz da projeção relativa à base canônica;
- usar essa matriz canônica para calcular
para , e .
Informações dadas:
- equação da reta:
(ou seja, ); - vetores pedidos e matrizes devem ser expressos explicitamente e depois aplicados aos vetores
listados.
Passo 2
Escolher
paralelo a
e
ortogonal a
, explicando a ideia.
- Para obter um vetor diretor da reta, ponha
. Então . Tomando obtemos um vetor diretor
Isto é paralelo a
porque seus pontos satisfazem
.
- Um vetor ortogonal à reta é um vetor normal à equação
. O coeficiente de e de formam o vetor normal . Assim podemos escolher
Verificação de ortogonalidade: o produto escalar
, logo são ortogonais.]
Passo 3
Matriz da projeção relativa à base
.
- Intuição: a projeção em
manda a componente na direção de para si mesma e anula a componente na direção de . Em coordenadas relativas à base , um vetor qualquer tem coordenadas e a projeção age como . - Portanto a matriz
da projeção em relação à base é
pois ela mantém a primeira coordenada e zera a segunda.]
Passo 4
Matriz de transição
da base
para a base canônica e sua inversa.
- Construir
cujas colunas são as coordenadas de e na base canônica:
Isto significa que para um vetor de coordenadas
temos o vetor canônico
.
- Calcular
:
- Inversa de
(fórmula para 2×2): se então . Aplicando,
Passo 5
Transformar a matriz da projeção da base
para a base canônica.
- Regra geral: se
é a matriz de uma transformação linear na base e é a matriz cujas colunas são os vetores de na base canônica, então a matriz na base canônica é
- Aqui
, logo é simplesmente a primeira coluna de seguida de coluna zero:
- Multiplicando por
:
- Observação (fórmula conhecida): isto coincide com a fórmula da projeção ortogonal sobre a direção
:
o que confirma nosso resultado.]
Passo 6
Usar a matriz canônica da projeção para calcular
para os vetores pedidos.
A matriz da projeção é
Aplicar a
aos vetores:
- Para
:
(Como esperado,
já está na reta, então proj é ele mesmo.)
- Para
:
(Isto ocorre porque
é múltiplo de
, ou seja, é ortogonal à reta.)
- Para
:
Resposta
Matriz da projeção em
:
Matriz da projeção na base canônica: