Considere a reta r do espaço que possui equações simetricas x_{1}+1=-\frac{1}{2}\left(x_{2}-6\right)=x_{3}.
(a)(1 ponto) Determine as equações paramétricas da reta r.
(b)( 1 ponto) Verifique que a reta r está contida no plano P : 3 x_{1}+x_{2}-x_{3}=3.

Passo 1

O enunciado nos dá a reta r do espaço definida pelas equações simétricas
x_{1}+1=-\frac{1}{2}\bigl(x_{2}-6\bigr)=x_{3}.
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar as equações paramétricas da reta r;
(b) verificar se a reta r está contida no plano P cuja equação é
3x_{1}+x_{2}-x_{3}=3.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Há uma igualdade de três expressões; isso significa que existe um mesmo valor (um parâmetro) igual a cada uma delas.
  • A reta pode ser escrita em forma paramétrica isolando x_{1},x_{2},x_{3} em função desse parâmetro.
  • Para verificar que uma reta está contida num plano, basta mostrar que qualquer ponto paramétrico da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 2

Escolher um parâmetro. Como as três expressões são iguais, chamo esse valor comum de t:
t = x_{1}+1 = -\frac{1}{2}\bigl(x_{2}-6\bigr) = x_{3}.
Explicar: isso é padrão em equações simétricas: define-se um parâmetro igual à expressão comum e resolve-se para as coordenadas em função dele.

Passo 3

Isolar cada coordenada em função de t.
Da igualdade t = x_{1}+1 vem
x_{1}=t-1.
Da igualdade t = -\dfrac{1}{2}\bigl(x_{2}-6\bigr) multiplico os dois lados por -2:
-2t = x_{2}-6 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=6-2t.
Da igualdade t = x_{3} vem imediatamente
x_{3}=t.
Essas são as equações paramétricas em função de t.

Passo 4

Escrever a forma vetorial/paramétrica mais compacta e identificar ponto e vetor diretor.
A forma vetorial fica
\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(-1,6,0\bigr)+t\bigl(1,-2,1\bigr),
porque se t=0 obtemos o ponto (-1,6,0) e o coeficiente de t é o vetor diretor (1,-2,1).
Explicação didática rápida: a forma \mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\mathbf{v} significa que a reta passa por \mathbf{r}_0 e tem direção \mathbf{v}; aqui \mathbf{r}_0=(-1,6,0) e \mathbf{v}=(1,-2,1).

Passo 5

Verificar que toda a reta satisfaz a equação do plano P.
Substituir as coordenadas paramétricas em 3x_{1}+x_{2}-x_{3}:
Começo calculando cada termo com x_{1}=t-1, x_{2}=6-2t, x_{3}=t:
3x_{1}=3(t-1)=3t-3,
x_{2}=6-2t,
-\,x_{3}=-t.
Somando:
3x_{1}+x_{2}-x_{3}=(3t-3)+(6-2t)-t.
Agora coloco os termos semelhantes juntos:
(3t-2t-t)+(-3+6)=0\cdot t+3=3.
Resultado: para todo t obtemos 3x_{1}+x_{2}-x_{3}=3. Portanto cada ponto da reta satisfaz a equação do plano.

Passo 6

Conclusão e interpretação final. Como a expressão da equação do plano fica igual a 3 para todo t, todos os pontos da reta pertencem ao plano P. Logo r está contida em P.

Resposta

(a) \;x_{1}=-1+t,\quad x_{2}=6-2t,\quad x_{3}=t\quad(t\in\mathbb{R}) \
ou \;\bigl(x_{1},x_{2},x_{3}\bigr)=\bigl(-1,6,0\bigr)+t\bigl(1,-2,1\bigr).
(b) Sim. A reta r está contida no plano P porque 3x_{1}+x_{2}-x_{3}=3 para todos os pontos paramétricos da reta.

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