Considere a reta
do espaço que possui equações simetricas
.
(a)(1 ponto) Determine as equações paramétricas da reta
.
(b)( 1 ponto) Verifique que a reta
está contida no plano P :
.
(a)(1 ponto) Determine as equações paramétricas da reta
(b)( 1 ponto) Verifique que a reta
Passo 1
O enunciado nos dá a reta
do espaço definida pelas equações simétricas
O enunciado pede duas coisas:
(a) determinar as equações paramétricas da reta ;
(b) verificar se a reta está contida no plano
cuja equação é
(a) determinar as equações paramétricas da reta
(b) verificar se a reta
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Há uma igualdade de três expressões; isso significa que existe um mesmo valor (um parâmetro) igual a cada uma delas.
- A reta pode ser escrita em forma paramétrica isolando
em função desse parâmetro. - Para verificar que uma reta está contida num plano, basta mostrar que qualquer ponto paramétrico da reta satisfaz a equação do plano.
Passo 2
Escolher um parâmetro. Como as três expressões são iguais, chamo esse valor comum de
:
Explicar: isso é padrão em equações simétricas: define-se um parâmetro igual à expressão comum e resolve-se para as coordenadas em função dele.
Passo 3
Isolar cada coordenada em função de
.
Da igualdade
vem
Da igualdade
multiplico os dois lados por
:
Da igualdade
vem imediatamente
Essas são as equações paramétricas em função de
.
Passo 4
Escrever a forma vetorial/paramétrica mais compacta e identificar ponto e vetor diretor.
A forma vetorial fica
porque se
obtemos o ponto
e o coeficiente de
é o vetor diretor
.
Explicação didática rápida: a forma
significa que a reta passa por
e tem direção
; aqui
e
.
Passo 5
Verificar que toda a reta satisfaz a equação do plano
.
Substituir as coordenadas paramétricas em
:
Começo calculando cada termo com
,
,
:
Somando:
Agora coloco os termos semelhantes juntos:
Resultado: para todo
obtemos
. Portanto cada ponto da reta satisfaz a equação do plano.
Passo 6
Conclusão e interpretação final. Como a expressão da equação do plano fica igual a
para todo
, todos os pontos da reta pertencem ao plano
. Logo
está contida em
.
Resposta
(a)
\
ou .
(b) Sim. A reta está contida no plano
porque
para todos os pontos paramétricos da reta.
ou
(b) Sim. A reta