Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
p(x)=x^{3}+3 x^{2}-3 x-9

Passo 1

O enunciado pede para determinar as raízes reais do polinômio dado. Informações fornecidas:
  • Polinômio: p(x)=x^{3}+3x^{2}-3x-9.
  • Pergunta: encontrar todas as raízes reais de p(x).

Passo 2

Vamos usar o Teste da Raiz Racional (Teorema das Raízes Racionais). Explicando a ideia com calma:
  • Se um polinômio com coeficientes inteiros
a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0
tem uma raiz racional \dfrac{p}{q} escrita na forma irredutível (isto é, \gcd(p,q)=1), então:
  • p divide o termo constante a_0;
  • q divide o coeficiente líder a_n.
  • No nosso caso, o coeficiente líder é 1 e o termo constante é -9. Como o coeficiente líder é 1, qualquer raiz racional precisa ser um divisor inteiro de -9.
  • Os divisores inteiros de -9 são
\pm 1,\\ \pm 3,\\ \pm 9.
Esses são os candidatos racionais que precisamos testar.

Passo 3

Agora avaliamos p(x) nesses candidatos, um por um, mostrando as contas:
Avaliar em x=1:
p(1)=1^{3}+3\cdot1^{2}-3\cdot1-9=1+3-3-9=-8\neq 0.
Avaliar em x=-1:
p(-1)=(-1)^{3}+3(-1)^{2}-3(-1)-9=-1+3+3-9=-4\neq 0.
Avaliar em x=3:
p(3)=3^{3}+3\cdot3^{2}-3\cdot3-9=27+27-9-9=36\neq 0.
Avaliar em x=-3:
p(-3)=(-3)^{3}+3(-3)^{2}-3(-3)-9=-27+27+9-9=0.
Encontramos p(-3)=0, logo x=-3 é uma raiz do polinômio.
Não é necessário avaliar x=\pm9 depois de já achar um divisor que funcione, mas para ilustrar:
p(9)=9^{3}+3\cdot9^{2}-3\cdot9-9=729+243-27-9=936\neq0,
p(-9)=(-9)^{3}+3(-9)^{2}-3(-9)-9=-729+243+27-9=-468\neq0.

Passo 4

Como x=-3 é raiz, podemos dividir p(x) por x+3 para reduzir a um polinômio de grau 2. Vou fazer a divisão usando a soma sintética (método prático):
Coeficientes de p(x): 1,\\\ 3,\\\ -3,\\\ -9. Usando o número -3:
Trabalhando passo a passo:
  • Trago 1 para baixo.
  • Multiplico 1 por -3 e somo ao próximo coeficiente: 3 + (1\cdot(-3)) = 3-3 = 0.
  • Multiplico 0 por -3 e somo ao próximo coeficiente: -3 + (0\cdot(-3)) = -3.
  • Multiplico -3 por -3 e somo ao próximo coeficiente: -9 + (-3\cdot(-3)) = -9 + 9 = 0.
A linha dos quocientes fica 1,\\\ 0,\\\ -3 e o resto é 0, confirmando a divisão exata. Portanto
p(x)=(x+3)\bigl(x^{2}+0\cdot x-3\bigr)=(x+3)\bigl(x^{2}-3\bigr).

Passo 5

Agora resolvemos a equação quadrática x^{2}-3=0. Explicando a técnica:
  • Para x^{2}-3=0 somamos 3 aos dois lados e obtemos x^{2}=3.
  • Tirando raíz quadrada (lembrando que tanto a raiz positiva quanto a negativa são soluções), obtemos
x=\pm\sqrt{3}.
Esses valores são reais.

Passo 6

Portanto todas as raízes reais do polinômio p(x) são x=-3, x=\sqrt{3} e x=-\sqrt{3}. Cada uma tem multiplicidade 1 (são raízes simples).

Resposta

-3
\sqrt{3}
-\sqrt{3}

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