Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
Passo 1
O enunciado pede para determinar as raízes reais do polinômio dado. Informações fornecidas:
- Polinômio:
. - Pergunta: encontrar todas as raízes reais de
.
Passo 2
Vamos usar o Teste da Raiz Racional (Teorema das Raízes Racionais). Explicando a ideia com calma:
- Se um polinômio com coeficientes inteiros
tem uma raiz racional
escrita na forma irredutível (isto é,
), então:
-
divide o termo constante ; -
divide o coeficiente líder . - No nosso caso, o coeficiente líder é
e o termo constante é . Como o coeficiente líder é , qualquer raiz racional precisa ser um divisor inteiro de . - Os divisores inteiros de
são
Esses são os candidatos racionais que precisamos testar.
Passo 3
Agora avaliamos
nesses candidatos, um por um, mostrando as contas:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Avaliar em
:
Encontramos
, logo
é uma raiz do polinômio.
Não é necessário avaliar
depois de já achar um divisor que funcione, mas para ilustrar:
Passo 4
Como
é raiz, podemos dividir
por
para reduzir a um polinômio de grau
. Vou fazer a divisão usando a soma sintética (método prático):
Coeficientes de
:
. Usando o número
:
Trabalhando passo a passo:
- Trago
para baixo. - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: .
A linha dos quocientes fica
e o resto é
, confirmando a divisão exata. Portanto
Passo 5
Agora resolvemos a equação quadrática
. Explicando a técnica:
- Para
somamos aos dois lados e obtemos . - Tirando raíz quadrada (lembrando que tanto a raiz positiva quanto a negativa são soluções), obtemos
Esses valores são reais.
Passo 6
Portanto todas as raízes reais do polinômio
são
,
e
. Cada uma tem multiplicidade
(são raízes simples).