Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
Passo 1
O enunciado fornece o polinômio
e pede para determinar as raízes reais usando o teste da raiz racional.
Informações relevantes dadas:
- Coeficiente líder (do termo de maior grau) é
. - Termo constante é
. - A pergunta é: quais são as raízes reais de
?
Passo 2
Explicação do teste da raiz racional (Teorema da raiz racional) — o que ele diz e por que funciona, de forma simples:
- Se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional na forma
em que , então divide o termo constante e divide o coeficiente líder. - Intuição curta: ao substituir
e multiplicar toda a equação por (onde é o grau), os termos ficam inteiros e isso força que divida o termo constante e divida o coeficiente líder.
Aplicando o teste ao nosso caso:
- Como o coeficiente líder é
, qualquer raiz racional deve ser um divisor do termo constante . - Divisores inteiros de
: .
Ou seja, as possíveis raízes racionais (candidatas) são
Passo 3
Testar as candidatas substituindo no polinômio — começar por
:
Calcular :
Calcular
Fazendo as contas em ordem:
Portanto
. Conclusão:
é uma raiz do polinômio.
Passo 4
Fatorar o polinômio dividindo por
para reduzir o grau — uso da divisão sintética (método rápido):
- Coeficientes de
: . - Raiz conhecida:
.
Tabela da divisão sintética (passos):
- Traga o
(primeiro coeficiente) para baixo: fica . - Multiplique por
(a raiz) e some ao próximo coeficiente: ; . - Multiplique
por : ; some ao próximo coeficiente: . - Multiplique
por : ; some ao próximo coeficiente: (resto).
Isso dá os coeficientes do quociente (grau
):
. Logo
Passo 5
Resolver a quadrática
— fatoração direta:
Procuramos dois números que multiplicam para (termo constante) e somam para
(coeficiente de
).
Procuramos dois números que multiplicam para
- Esses números são
e porque e .
Portanto
Passo 6
Combinar as fatorações:
Assim as raízes (onde
) são
. Todas as raízes são reais e simples (multiplicidade
).