Determine as raízes reais dos polinômios a seguir usando o teste da Raiz racional.
p(x)=x^{3}-6 x^{2}+11 x-6

Passo 1

O enunciado fornece o polinômio
p(x)=x^{3}-6x^{2}+11x-6
e pede para determinar as raízes reais usando o teste da raiz racional.
Informações relevantes dadas:
  • Coeficiente líder (do termo de maior grau) é 1.
  • Termo constante é -6.
  • A pergunta é: quais são as raízes reais de p(x)?

Passo 2

Explicação do teste da raiz racional (Teorema da raiz racional) — o que ele diz e por que funciona, de forma simples:
  • Se um polinômio com coeficientes inteiros tem uma raiz racional na forma \dfrac{p}{q} em que \gcd(p,q)=1, então p divide o termo constante e q divide o coeficiente líder.
  • Intuição curta: ao substituir x=\dfrac{p}{q} e multiplicar toda a equação por q^{n} (onde n é o grau), os termos ficam inteiros e isso força que p divida o termo constante e q divida o coeficiente líder.
Aplicando o teste ao nosso caso:
  • Como o coeficiente líder é 1, qualquer raiz racional deve ser um divisor do termo constante -6.
  • Divisores inteiros de -6: \pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6.
    Ou seja, as possíveis raízes racionais (candidatas) são
\pm 1,\\ \pm 2,\\ \pm 3,\\ \pm 6.

Passo 3

Testar as candidatas substituindo no polinômio — começar por x=1:
Calcular p(1):
p(1)=1^{3}-6\cdot1^{2}+11\cdot1-6=1-6+11-6.
Fazendo as contas em ordem:
1-6=-5,\qquad -5+11=6,\qquad 6-6=0.
Portanto p(1)=0. Conclusão: \,x=1 é uma raiz do polinômio.

Passo 4

Fatorar o polinômio dividindo por (x-1) para reduzir o grau — uso da divisão sintética (método rápido):
  • Coeficientes de p(x): 1,\\\ -6,\\\ 11,\\\ -6.
  • Raiz conhecida: 1.
Tabela da divisão sintética (passos):
  • Traga o 1 (primeiro coeficiente) para baixo: fica 1.
  • Multiplique por 1 (a raiz) e some ao próximo coeficiente: 1\cdot1=1; -6+1=-5.
  • Multiplique -5 por 1: -5\cdot1=-5; some ao próximo coeficiente: 11+(-5)=6.
  • Multiplique 6 por 1: 6\cdot1=6; some ao próximo coeficiente: -6+6=0 (resto).
Isso dá os coeficientes do quociente (grau 2): 1,\\\ -5,\\\ 6. Logo
p(x)=(x-1)\bigl(x^{2}-5x+6\bigr).

Passo 5

Resolver a quadrática \,x^{2}-5x+6 — fatoração direta:
Procuramos dois números que multiplicam para 6 (termo constante) e somam para -5 (coeficiente de x).
  • Esses números são -2 e -3 porque (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5.
    Portanto
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 6

Combinar as fatorações:
p(x)=(x-1)(x-2)(x-3).
Assim as raízes (onde p(x)=0) são x=1,\\ x=2,\\ x=3. Todas as raízes são reais e simples (multiplicidade 1).

Resposta

x=1,\;x=2,\;x=3

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